Por Az.
No sé cuantos artículos sean necesarios para cada tema pero intentaré incluir en cada explicación un problema para que se haga entendible, ¿vale?, comenzaré.
En lo que respecta a este tema hay diferentes problemas para cuando queremos hallar la ecuación de la circunferencia de un circulo, valga la estúpida redundancia, ya que hay varios casos:
Cuando tenemos una recta tg (tangente) y el centro del circulo.
Cuando tenemos un punto que se encuentra en la circunferencia y el centro del circulo esta sobre una recta.
Cuando tenemos dos puntos que forman el diametro (este caso es sencillo), y demás.
Hoy trataré:
- Ecuación de la circunferencia que pasa por 3 puntos
Esto tuve que aprenderlo, ya que debía enseñarlo a unas chicas de las cuales era maestro particular, no me lo enseño mi maestro pero lo aprendí de un libro después de repasarlo y hacer unos ejercicios.
Resolviendo un problema que vi en YahooRespuestas:
Determinar la circunferencia que pasa por los puntos
A (2, -2)
B (-1, 4)
C (4, 6)
Citando, a mi manera, la explicación del libro:
La circunferencia tiene una Ecuación de la Forma General:
x² + y² + Dx + Ey + F= 0
Donde:
x, y --> representan a un punto que se encuentra en la circunferencia
D, E, ---> son los coeficientes que acompañan en la ecuacion al punto
F ---> representa al término independiente.
Todo punto que se encuentre sobre la circunferencia debe satisfacer la ecuacion de la circunferencia.
Como sabemos que "x" y "y" son los valores de un punto que está sobre la circunferencia, y tenemos tres puntos A, B y C, sustituiremos esos valores en la Ecuación de la Forma General, obtendremos tres ecuaciones:
A (2, -2) --> (2)² + (-2)² + D(2) + E(-2) + F = 0
4 + 4 + 2D - 2E + F = 0
8 + 2D - 2E + F = 0 ---> Ecuación 1
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B (-1, 4) --> (-1)² + (4)² + D(-1) + E(4) + F = 0
1 + 16 -D + 4E + F = 0
17 - D + 4E + F = 0 ---> Ecuación 2
-------------------------------------------------------
C (4, 6) --> (4)² + (6)² + D(4) + E(6) + F = 0
16 + 36 + 4D + 6E + F = 0
52 + 4D + 6E + F = 0 ---> Ecuación 3
"F" es el único que quedara con valor de "1" por el momento.
Ahora resolvemos por cualquier método este sistema de ecuaciones.
8 + 2D - 2E + F = 0 Ecuacion 1
17 - D + 4E + F = 0 Ecuacion 2
52 + 4D + 6E + F = 0 Ecuacion 3
Ayer intente resolverlo aqui, pero sólo podía comprobar dos ecuaciones de las tres, en estos casos como en cualquier sistema de ecuaciones es importante la comprobación pues nos pueden salir infinidad de resultados unos aptos para una o dos ecuaciones, como lo que me paso a mí, pero no para todas, veamos.
Vamos a eliminar primero de nuestro sistema de ecuaciones a "E"
Resolviendo 1 y 3 por el método de suma y resta.
(ver el artículo de ecuaciones para quien no sabe como hacerlo)
2D - 2E + F= - 8
4D + 6E + F= -52
(2D - 2E + F= - 8) (3) --> 6D - 6E + 3F=-24 --> multiplicamos por 3 para que se elimine con el "+6E"
6D - 6E + 3F= -24
4D + 6E + F= -52
--------------------
10D + 0 + 4F = -76 ----> 10D + 4F= -76 Nueva ecuación 1
Resolviendo 2 y 3 por el método de suma y resta.
- D + 4E + F = -17
4D + 6E + F = -52
Cruzamos los coeficientes para multiplicar y poder eliminar a "E", recordemos que ambos términos deben tener diferente signo para poder eliminar por lo que multiplicaremos a una de las ecuaciones por un valor negativo
(- D + 4E + F = -17) (-6) ---> 6D - 24E - 6F = 102
(4D + 6E + F = -52) (4) ---> 16D + 24E + 4F = -208
6D - 24E - 6F = 102
16D + 24E + 4F = -208
-----------------------------
22D + 0 - 2F = -106 ---> 22D - 2F = -106 Nueva ecuación 2
Ahora resolvemos nuestro nuevo sistema de ecuaciones formado por:
10D + 4F= -76 Nueva ecuación 1
22D - 2F = -106 Nueva ecuación 2
Vamos a utilizar el método de sustitución en la nueva ecuación 1, despejando el valor de " D"
Entonces tenemos que:
D= - 76 - 4F/ 10 ---> todo dividido entre "10"
Sustituyendo en la nueva ecuacion 2...
22( -7 - 4F/ 10) - 2F = -106
En estos casos lo que hago es dejar sólo al término que sustitui, de la siguiente manera
22( -7 - 4F / 10) = -106 + 2F
Podemos pasar el denominar de "10", desde ahora, al otro lado para que multiplique a los otros términos puesto que "22" como es una multiplicación de fracciones sólo multiplica a los numeradores, o podemos multiplicar por "22" y despues cuando quitemos los paréntesis pasamos el 10, al gusto de cada quien.
- 1672 - 88 F/ 10 = -106 + 2F
-1672 - 88F = (-106 + 2F) (10)
-1672 - 88F = -1060 + 20F --> acomodamos los términos
-88F - 20F = -1060 + 1672
-108F = 612 --> despejamos para sacar el valor de F
F = 612/ -108 ---> F = -51/9 ---> F = -17/3
Ahora hallemos el valor de "D", cuando despejamos "D" para sustituir dijimos que es:
D= - 76 - 4F/ 10 --> recuerden que es todo entre "10"
D= - 76 - 4(-17/3) / 10 --> pasamos el valor de -76 a fracción
D= -228/ 3 + 68/3 /10 --> resolvemos la suma de fracciones
D= (-160/ 3) /10
Lo de arriba se lee - 160 tercios entre 10, para que no se confundan, hacemos la operación y nos queda:
D= -160/ 30 ---> D= -80/15 ---> D= -16/ 3
Ahora hallemos el último valor usando:
4D + 6E + F = -52
Voy a utilizar ésta ecuación para obtener el valor de "E" ya que fue la que me dio más problemas, era en la única que no me salía la comprobación.
6E= -52 - 4D -F --> aun no pasaré el 6 para que no nos revolvamos, jeje
6E= - 52 - 4( -16/3) - (-17/3) -->pasamos el -"52" a fracción
6E= - 156/ 3 + 64/3 + 17/3
6E= -156/3 + 81/3
6E= -75/3 --> aqui si podemos sacar un número entero de la fracción
6E= -25
E= -25/6
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Sé que es algo tedioso pero comprobemos las ecuaciones:
D= -16/ 3
E= -25/6
F = -17/3
Ecuacion 1: 2D - 2E + F = -8
2( -16/3) - 2(-25/6) - 17/3 = -8
-32/3 + 25/3 - 17/3 = -8
-49/3 + 25/3 = -8
-24/3 = -8
-8 = -8
Ecuacion 2: -D + 4E + F = -17
-(-16/3) + 4( -25/6) - 17/3 = -17
16/3 - 50/3 - 17/3 = -17
16/3 - 67/3 = -17
-51/3 = -17
-17 = -17
Ecuacion 3: 4D + 6E + F = -52
4(-16/3) + 6( -25/6) - 17/3 = -52
-64/3 - 25 - 17/3 = -52
-81/3 - 25 = -52
-27 - 25 = -52
-52 = -52
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Hemos comprobado que están bien los valores, ahora saquemos la ecuación general de la circunferencia, la cual obtenemos apartir de la siguiente formúla.
x² + y² + Dx + Ey + F = 0 Ecuacion General de la Circunferencia
Bien, ahora solo sustituiremos los valores de D, E y F en la ecuación.
D= -16/ 3
E= -25/6
F = -17/3
x² + y² + (-16/3)x + (-25/6)y +(-17/3) = 0
x² + y² -16/3 x - 25/6 y = 17/3 --> ésta es nuestra ecuación de la forma general
Para pasar esa ecuacion a la forma ordinaria primero acomodamos los términos en relación a "x" y "y", así:
(x² - 16/3 x) + (y² - 25/6 y) = 17/3
Ahora procedemos a acompletar los binomios, los términos que añadamos se los sumaremos al término independiente osea a 17/3, para no desbalancer la ecuación..
Por como se ordena un binomio sabemos que el "-16/3 x" y el "-25/6 y", son el resultado del doble producto del primero por el segundo término, por lo que para hallar el valor del segundo término solo debemos dividirlo entre 2 y quitarle su literal:
Para el caso de "x"
2? = -16/3
?--> corresponde al valor del término independiente, si despejamos nos quedaría así:
?= (-16/3 ) /2
?= -16/ 6 ---> -8/3
Para el caso de "y"
2?= -25/ 6
?= (-25/6) / 2
?= -25/ 12
Los términos que obtuvimos los elevaremos al cuadrado ya que el único término que falta en el binomio es el segundo término elevado al cuadrado, entonces tenemos que:
(x² - 16/3 x + (- 8/3)² ) + (y² - 25/6 y + (-25/ 12)² ) = 17/3 + (- 8/3)² + (-25/ 12)²
(x² - 16/3 x + 64/9) + (y² - 25/6 y + 625/144) = 17/ 3 + 64/9 + 625/144
Ahora factorizamos el binomio, ya que es un binomio cuadrado perfecto, basta con sacarla raíz cuadrada al primero y al último término y ponerle elevado al cuadrado, y resolvemos la suma del término independiente.
(x - 8/3)² + (y - 25/12)² = 2465/ 144 --> ésta es nuestra ecuación de la forma ordinaria
Es a lo máximo, que yo, pude simplificar al término independiente, lo reitero no tengo calculadora cientifica pero ustedes comprueben que este bien.
Las coordenadas del centro son:
C (8/3, 25/12)
No son negativos pues en la formula dice
(x - h)² + (y - k)²= r²
El valor de nuestro radio...
Si r² = 2465/ 144
r= √ 2465/ 144 --> todo va dentro de la raíz
r= √ 2465/ √144
En una fracción, el radical o la raíz se puede dividir en una para el numerador y otra para el denominador, sólo para aclarar y para quienes se preguntaron porque demonios hice eso, ahora hasta donde me dan mis calculos mentales, pude sacar esto:
r= √ 2465/ 12 --> este es el valor del radio
No sé si el numerador tenga raíz cuadrada, ustedes saquenla ya que como vengo repitiendo NO TENGO CALCULADORA CIENTIFICA, de hecho necesita pilas, pero bueno espero haya quedado bien explicado, sólo para resumir.
Ecuación de la circunferencia de la forma general: x² + y² -16/3 x - 25/6 y = 17/3
Ecuación de la circunferencia de la forma ordinaria: (x - 8/3)² + (y - 25/12)² = 2465/ 144
Coordenadas del centro: C (8/3, 25/12)
Valor del radio: r= √ 2465/ 12
Que les vaya bien, yo ando moreteado por ir a jugar gotcha, ciao ciao y gracias por visitar mi blog, si tienen alguna duda, algo que no haya quedado bien claro diganme para ver que puedo hacer, o quieren trate de un tema avisenme.
No me gusta facilitar respuestas, yo soy de los que piensa que todos somos capaces de poder hacer algo si se nos enseña para que entendamos y no solamente para que sepamos.
La resignación es, de todas, la peor forma de rendirse.
©Alexander Zante
