Por Az.
Veamos un caso de circunferencia, es de una pregunta de YahooRespuestas.
Determinar la Ecuación de la circunferencia, si A (-2 , 6) y B (8, -4) son los extremos del diámetro del círculo.
Ahora la ecuación de la circunferencia de la forma ordinaria, es así:
(x - h)² + (y - k)² = r²
Donde:
(x, y) --> son las coordenadas de un punto sobre la circunferencia que debe satisfacer la ecuacion
(h, k) --> son las coordenadas del centro del circulo
r --> es el valor del radio
La Ecuación de la Forma General de la circunferencia es:
x² + y² + Dx + Ey + F= 0
Donde:
(x, y) --> son las coordenadas de un punto sobre la circunferencia
D, E --> son coeficientes que acompañan a "x" y a "y"
F --> es el término independiente
Ahora sabiendo esto iniciemos a resolver porque debo ir a ver la tele, jeje.
Retomando el problema.
El diámetro de un circulo es una recta que pasa de lado a lado, es decir de extremo a extremo, del mismo, cortandolo en partes iguales, la mitad del diámetro obviamente es el radio.
En la mitad del diámetro podremos encontrar el centro, ¿verdad?
Si el segmento comprendido entre A y B es el diámetro, el punto medio entre ellos es el centro y podemos obtener las coordenadas de la siguiente forma.
Pm(x) =x1 + x2/ 2
Pm(y)= y1 + y2/ 2
Se lee, la suma de "x1" más "x2" dividido, todo, entre dos. El mismo caso para el punto medio (Pm) de "y"
Las coordenadas del punto medio serán
P (Pm(x), Pm(y))
Es decir el resultado de cada división.
Sean (x1, y1) las coordenadas de A, y (x2, y2) las de B, tenemos que
A (-2 , 6)
B (8, -4)
Pm(x) = -2 + 8/ 2
Pm(x) =6/ 2
Pm(x) =3
Pm(y)= 6 - 4/ 2
Pm(y)= 2/2
Pm(y)= 1
No importaba cual pusiéramos primero, el resultado no cambiaría pero era para instaurar un orden, jeje. Entonces las coordenadas del Pm, es decir el centro son:
C (3, 1)
Antes de sustituir esos valores en la ecuación ordinaria, normal o como le digan necesitamos hallar el valor del radio, el cual obtendremos por la formula de distancia entre dos puntos (Ver Nociones de Geometria Analitica, en caso de que no sepan cual es.)
La formula es así:
d= √ (x1 - x2)² + (y1 - y2)²
Aqui usaremos forzomente las coordenadas del centro y a elección de cada uno el otro punto, sea A o B, no importa pues la distancia será la misma.
Usaré a:
Las coordenas del centro como (x1, y1)
Las coordenadas de B como (x2, y2)
C ( 3, 1) B (8, -4)
Sustituimos valores:
d= √( 3 - 8)² + ( 1 - (-4))²
d= √(-5)² + (5)²
d= √ 25 + 25
d= √ 50 --> descomponemos
d= √ ((5)²(2)
d= 5√2
r= 5√2
Ahora ya podemos sacar la ecuación de la circunferencia, primero de la forma ordinaria, solo sustituimos los valores del centro en
h --> representa la coordenada "x" del centro
k ---> representa la coordenada "y" del centro
Solo para aclarar, jeje.
Entonces:
(x - h)² + (y - k)² = r²
(x- 3)² + (y - 1)² = (5√2)²
(x- 3)² + (y - 1)² =50 --> comprueben en su calculadora esto, ya que la mía no funciona, jeje
Eso es todo en lo que respecta a la forma ordinaria, para pasar de ésta a la general lo único que debemos hacer es desarrollar los binomios e igualar a cero la ecuación, veamos:
(x- 3)² + (y - 1)² =50
(x² +2(-3)(x) + 9) + (y² + 2(-1)(y) + 1)= 50 -->resolvemos y quitamos parentesis
x² - 6x + 9 + y² -2y + 1 = 50 --> acomodamos, igualamos a cero
x² + y² - 6x - 2y + 9 + 1 - 50 = 0 --> reducimos términos semejantes
x² + y² - 6x - 2y - 40 = 0 --> Asi queda la ecuacion de la forma general.
*A los que vieron esto hace 10 minutos si es que alguien lo hizo, hice una corrección*
Bueno espero les haya servido, practiquen, las matemáticas más que nada es cuestión de aprenderse las formúlas de ahi en fuera todo con práctica se hace sencillo, como le decía a quienes enseñaba, por cierto soy estudiante de 20 años, no estoy tan viejo, jeje, me largo a ver mi programa que ya va a la mitad, demonios, cuidense y cualquier duda o petición para que les ayude en algo si está dentro de mis haberes con gusto, ciao ciao.
Ayudar es instruir, no inutilizar.
©Alexander Zante
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