Vale pues esto es lo más sencillo del mundo para resolver, queria irme primero con lo más difícil pero bueno.
Hay cuatro métodos para resolver un sistema de ecuaciones:
*Suma y resta
*Sustitución
*Igualación
*Determinantes (este último no me lo enseñaron, lo investigaré bien y si logro comprenderlo lo anexaré)
Primero que nada debemos aprender a despejar. Esto es quitar todos los términos que están a compañando a nuestra incógnita.
Para ello debemos saber que cuando los términos pasan al otro lado de igual, pasarán con la operación contraria:
Suma >Resta
Multiplicacion > División
Exponente o potencia > Radical o raíz
Veamos ejemplos:
a) 8x + 40= 0
Pasamos al otro lado de igual al término independiente, este es aquel que no posee una parte literal, que no esta acompañado pues, jeje, en nuestro buen castellano sería el 40, vemos que es positivo, pero como puse anteriormente debe pasar con la operación contraria, entonces:
8x= -40
Podemos ver que "x" aún no esta sola, tiene al coeficiente "8". En este caso la función de el coeficiente es la de multiplicar, por lo que debe pasar dividiendo con su propio signo, si es positivo, pasa dividiendo como positivo, si es negativo pasa dividiendo como negativo, ¿vale?
x= 40 / 8 ---> x= 5
b) 9x² - 16= 0
Pasamos el término independiente.
9x² = 16
Pasamos el coeficiente que acompaña a "x"
x²= 16 / 9
Podemos ver que "x" está elevado a una potencia, por lo que debemos quitarlo para poder hallar su valor, la operación contraria a la potenciación es el radical o la raíz, como les agrade más, jeje.
x= √16/9
Recordemos las propiedades de los radicales, el radical en una fracción se puede dividir para el numerador y para el denominador por lo que:
x= √16/ √9
Ambos términos tienen raíz cuadrada perfecta, entonces:
x= 4/3
Fuera el caso de que "x" estuviera elevado al cubo, pondríamos raíz cúbica; si estuviera elevado a la cuarta, pondríamos raíz cuarta y así, no es muy complejo.
Ya sabiendo como despejar y que operación es contraria a cual, vamos ahora a ver como resolver los sistemas de ecuaciones, los pondré conforme los enlisté.
- Método de suma y resta.
Algo que me decía mi maestro, es que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas; mientras vayamos resolviendo nuestro sistema de ecuaciones las incógnitas se reducen hasta quedar sólo una.
Mientras hago el desarrollo, explicaré los pasos. Podría decirse que hay dos casos.
- Caso 1: cuando queremos eliminar incógnitas que tienen el mismo coeficiente
a) x + 3y = 8
b) x - 9y = -4
Debemos escoger la incógnita que queremos eliminar, la que nos quedé es la que despejaremos.
Como pueden ver "x" en las dos ecuaciones tiene de coeficiente "1", está será la que eliminaré.
Vamos a multiplicar a toda la ecuacion, sea la a) o la b), por un signo negativo o un -1, para que los términos se reduzcan, esto hará desaparecer a "x". El único efecto del "-1" será el cambio de signo, en los elementos de nuestra ecuación seleccionada.
x + 3y= 8
(x - 9y= - 4) -1
No importa si lo ponen delante o detrás pues está multiplicando.
Obedeciendo a la ley de los signos,( solo para aclarar signos iguales dan positivo, signos diferentes dan negativo), tenemos que:
x + 3y = 8
-x + 9y = 4
Por cierto debemos colocar cada elemento debajo del igual, como pueden ver, "x" debajo de "x", "y" debajo de "y", y los terminos independientes, ahora imaginemos una linea de suma y resta, como las que poniamos en primaria y reduzcamos terminos semejantes, o en otras palabras sumemos o restemos segun los signos...
x + 3y = 8
-x + 9y = 4
--------------
0 + 12y = 12
El cero no lo pongan, solo lo represento para que vean que se elimina, ahora tenemos:
12y =12 ---> despejamos
y= 12/12
y=1
Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones para hallar el valor de "x":
x + 3y= 8
x= 8 -3y
x=8 - 3(1)
x=8-3
x=5
Tambien se puede sustituir antes de pasarlo al otro lado de igual, como digo, es al gusto de cada quien, jeje.
Hagan la comprobación ustedes, la haría pero se alarga mucho este artículo.
- Caso 2: cuando queremos eliminar incógnitas que tienen coeficientes distintos
a) 4z + 5y = -23
b) 3z - 2y = 23
Sea cual sea la incógnita que elijamos tiene coeficiente distinto.El desarrollo es el mismo, lo que cambia es al momento de querer eliminar una incógnita con la multiplicación.
Aqui digamos hay una subdivisión, es sencillo.
Si los coeficientes fueran pares, por ejemplo que en lugar de "3z", hubiera un "2z" solo multiplicamos por un "-2" a toda esa ecuación, el resultado sería un "-4z" que podríamos eliminar con el "+4z" y de ahi seguimos normal.
En este caso vamos a eliminar a "y", ya son de signo distinto, así que lo único que debemos hacer es "cruzar" coeficientes, veamos:
(2) (4z + 5y = -23) ---> 8z + 10y = -46
(5) (3z - 2y = 23) --->15z - 10y= 115
Ahora si ya podemos eliminar y seguir el procedimiento normal.
8z + 10y = -46
15z - 10y= 115
----------------
23z + 0 = 69
Técnicamente estoy mal por poner cero positivo, pero solo lo estoy representando para que vean que se elimina.
23z= 69
z= 69 / 23
z= 3
Sustituyendo:
3z - 2y = 23
-2y= 23 - 3z
-2y= 23 - 3(3)
-2y= 23 - 9
-2y= 14
y= 14 / -2
Recuerden que dije que el coeficiente que acompañe a la incógnita en el despeje si esta multiplicando pasa dividiendo con su propio signo.
y= -7
Igualmente hagan la comprobación.
- Método de sustitución
Sea un sistema de ecuaciones formado por:
a) 3x + 2y = 2
b) x + 3y = 3
Para sustituir, lo primero que debemos hacer es despejar una incógnita.
Despejando "x" de la primera ecuación
3x= 2 - 2y
x= 2- 2y/ 3 --> todo dividido entre tres
Lo siguiente que haremos es sustituir o reemplazar este valor en la ecuación que no ocupamos:
x + 3y = 3
(2 - 2y/ 3) + 3y = 3 ----> los parentesis son para que vean con más detalle
2 - 2y/ 3= 3 - 3y ---> pase el "3y" para hacer lo que dice abajo, jeje.
Para pasar nuestra fracción a entero, pasamos el denominador "3" al otro lado del igual, operación contraria a la división, la multiplicación, entonces:
2 - 2y = 3( 3 - 3y)
2 - 2y = 9 - 9y ---> ahora ponemos de un lado a las "y" y del otro a los términos independientes
-2y + 9y= 9 - 2
7y= 7 --> desde aquí ya podemos deducir que vale 1
y= 7/ 7 ---> y=1
Sustituimos el valor encontrado en alguna de las ecuaciones.
3x + 2y = 2
3x = 2 - 2y
3x= 2 - 2(1)
3x= 0
x= 0/3 ---> x= 0
Hagan la comprobación.
- Método de igualación
Sea nuestro sistema.
a) x + y - z = 5
b) x - 2y - 2z = 4
c) 3x - 3y + z = 1
Vamos a elegir dos ecuaciones, en las cuales habremos de despejar la misma incógnita.
a) x + y - z = 5 ---> despejando "x" en a)
x= 5 - y + z
b) x - 2y - 2z = 4 ---> despejando "x" en b)
x= 4 + 2y + 2z
Ahora, el porque de que se le llame igualación; vamos a colocar el resultado de los despejes uno a lado del otro, pero entre ellos pondremos un signo de igual, así:
5 - y + z = 4 + 2y + 2z --> igualación de a) con b)
Pude poner primero al resultado de b), pero dará lo mismo, cuestión de gustos. Ahora vamos a simplificar, es decir sumar o restar términos semejantes segun el caso, recuerden que debemos poner de un lado a las incógnitas y del otro a los términos independientes, entonces:
5 - 4 = 2y + 2z + y - z --> los invertí de lugar para que quedarán positivos de una vez
1= 3y + z
Tambien podemos ponerlo así: 3y + z = 1 , es como si le dieramos la vuelta, no hay problema pues se mantiene la idea, no es como si los hubieramos pasado uno por uno, pues hubieran cambiado de signo.
3y + z = 1 ---> es el resultado de nuestra primer igualación
Recuerden que necesitamos el mismo número de ecuaciones que el de incógnitas, por lo que necesitamos hacer otra igualación.
Es obvio que debemos usar la ecuacion c), la elección de la otra ecuacion es a gusto propio.
Debemos despejar aqui tambien la misma incógnita, para que tengamos los mismos términos que el resultado de la primer igualación.
Ahora despejamos "x" de c)
c) 3x - 3y + z = 1
3x= 1 + 3y - z
x= 1 + 3y - z / 3 ---> todo entre "3"
Igualando:
4 + 2y + 2z = 1 + 3y - z / 3 ---> igualación de b) con c)
Vamos a convertir nuestra fracción a entero pasando el denominador "3" al otro lado de igual, recuerden que como esta dividiendo pasa multiplicando; una vez hayamos terminado de multiplicar reducimos términos semejantes.
3( 4 + 2y + 2z) = 1 + 3y - z
12 + 6y + 6z = 1 + 3y - z
6y + 6z - 3y - z= 1 - 12
6y - 3y + 6z + z= 1 - 12
3y + 7z = -11 ----> resultado de la segunda igualación.
Veamos cuales son nuestras dos ecuaciones resultantes:
3y + z = 1
3y + 7z = -11
De nueva cuenta haremos igualación, vamos a despejar a "y".
y= 1 - z / 3 ---> todo entre 3
y = - 11 - 7z / 3 ---> todo entre 3
Igualamos:
1 - z / 3 = -11 - 7z / 3
Podemos ver que ambas fracciones tienen el mismo denominador por lo que, en este caso podemos cancelarlos, si quieren multipliquen a las dos igualaciones por "3" al final obtendrán el mismo resultado, en serio haganlo, jeje, si los multiplicamos obtendriamos un equivalente a lo que ya tenemos.
Como para resolverlo yo cancelo los denominadores, me queda lo siguiente:
1 - z = -11 - 7z --> reducimos términos semejantes
-z + 7z = -11 - 1
6z = -12 ----> z = -12/ 6 -----> z = -2
Bien tenemos un valor, ¡por fin!, jeje.
No podemos ir a sustituir este valor en una de las ecuaciones originales, es decir, en las que tiene tres incógnitas, ¿verdad?, entonces este valor lo sustituiremos en una de las que tiene dos incógnitas, ya cuando tengamos dos valores, entonces si sustituimos en una de las de tres incógnitas.
3y + z = 1 --> se ve fácil, jeje
3y = 1 - z
3y = 1 - (-2) --> regla de los signos
3y = 1 + 2
3y = 3
y = 3/3
y = 1
Estamos a punto de terminar.
x + y - z = 5 -->¿ se nota que ya tengo flojera?
Entonces tenemos valores para:
z = -2
y = 1
Sustiyendo dichos valores:
x + y - z = 5
x = 5 - y + z
x = 5 - 1 +´(-2)
x = 5 - 1 - 2
x= 5 - 3
x= 2
Entonces los valores de nuestras tres incógnitas son:
x = 2 y = 1 z = -2
Hagan ustedes la comprobación de nueva cuenta.
No hago las cosas paso por paso para tratarlos como tontos, lo hago para que tengan el menor número de dudas posibles. Bien puedo saltarme la acomodación de términos, multiplicación, cancelaciones de denominadores, divisiones, etc, pero quiero explicarles lo más detalladamente para que comprendan y entiendan el tema.
Me voy, alguna sugerencia sobre que tema poner o alguna duda, no olviden comentar.
Ciao ciao.
La resignación es, de todas, la peor forma de rendirse.
© Alexander Zante
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