Por Az.
El artículo anterior a éste era para resolver un problema de parábola que encontré en YahooRespuestas, bien, ahora vamos a ver lo que respecta a la teoría, es decir formúlas y como saber que hacer, támbien pondré problemas y ejemplos, si veo que se va haciendo muy extenso este artículo los ejemplos los paso a otro, ¡andiamo a cominciare!
Hay dos casos en la Parábola:
- Con vértice en el origen
- Con vértice fuera del origen
Y por cada caso hay otros dos casos:
- Cuando la parábola es paralela al eje OX, es decir es horizontal; vale vale, una explicación más sencilla, es cuando la parábola abre hacia la izquierda o a la derecha.
- Cuando la parábola es paralela al eje OY, es decir es vertical; es cuando abre hacia arriba o hacia abajo, sólo para aclarar.
Antes de seguir voy a mencionar los elementos que conforman a la parábola:
p-> distancia del foco a la directriz
F-> foco
V-> vértice
d-> directriz
1. Parábola con vértice en el origen, cuando es paralela al eje OX y abre a la derecha
Pese al titulo, esto no es complicado, a decir verdad lo estoy desglosando lo mayor posible para que quede bien entendido.
Sea la ecuación de la parábola:
y² = 4px
Bien antes de seguir quiero aclarar lo siguiente, ¿Cómo demonios sé cuando una parábola esta con respecto al eje OX o al eje OY?
En la ecuación de la parábola sólo uno de los términos es un término cuadrático, como vemos "y²", esto es de ley en la ecuación de una parábola.
Podríamos decir que una parábola abrirá hacia la izquierda o la derecha cuando en la ecuación de dicha parábola "y" es el único término cuadrático o podríamos decir que es cuando en dicha ecuación "x" no es un término cuadrático, lo dejo a criterio de uds, como les sea más fácil recordar.
Continuando,como su nombre lo indica, el vértice está en el origen (¿¡me lo juras!?), por lo que las coordenadas del mismo son:
V(0,0)
Ahora, las coordenadas del foco son:
F(P/4, 0)
Por cierto, "4p" es el valor del lado recto que se representa así: LL'.
Y "p" es la longitud del segmento comprendido entre el foco (F) y el vértice (V).
La explicación de porqué es "P/4" una de las coordenadas del foco se las debo, para ello debería profundizar al cómo se obtuvo la ecuación de la parábola y demás, jeje.
Bien, el valor que obtengamos al hallar "P", nos dirá para donde abrirá la parábola, de momento solo veremos con respecto al eje OX, es decir si abre a la derecha o izquierda.
Para los casos del eje OX, cuando:
- "P" es mayor a cero, P>0, la parábola abre hacia la derecha
- "P" es menor a cero, P<0, la parábola abre hacia la izquierda
En este caso "P" es positivo, como dice el subtitulo, abre a la derecha.
La ecuación de la directriz es:
x= -P/4
Se podría decir que es el valor contrario a la coordenada del foco.
Recapitulando tenemos que los datos de una parábola que abre a la derecha, es decir cuando "P" es positivo son:
Vértice: V(0,0)
Foco: F(P/4, 0)
Ecuación de la directriz: x= -P/4
2. Parábola con vértice en el origen, cuando es paralela al eje OX y abre a la izquierda
Como dije, "P" es lo que condiciona para donde ha de abrir una parábola, por tanto aquí P<0
Sea la ecuación de la parábola:
y² = -4px
Tenemos que su vértice sigue teniendo las mismas coordenadas:
V (0,0)
Como "P" es menor a cero, es decir negativa (-), las coordenadas del foco serán:
F(-P/4, 0)
Y la ecuación de la directriz, como dije, podríamos entender que es contaria a la coordenada del foco, por tanto:
x= P/4
Recapitulando, tenemos que los datos de ésta parábola son:
Vértice: V (0,0)
Foco: F(-P/4, 0)
Ecuación de la directriz: x= P/4
3. Parábola con vértice en el origen, cuando es paralela al eje OY, y abre hacia arriba.
Antes de continuar, quiero recordarles que la ecuación de la parábola y el valor de "P" son los que determinan en que eje se encuentra una parábola y hacia donde abre.
Para los casos del eje OY, cuando:
- "P" es mayor a cero, P>0, la parábola abre hacia arriba.
- "P" es menor a cero, P<0, la parábola abre hacia abajo.
Entonces aquí P>0
Sea la ecuación de la parábola:
x² = 4py
Las coordenadas del vértice seguirán siendo las mismas:
V (0, 0)
Ahora las coordenadas del foco serán:
F(0, P/4)
Esto es por que ahora estamos con respecto al eje OY.
La ecuación de la directriz ha de ser:
y= -P/4
Recapitulando, los datos de la parábola en este caso son:
Vértice: V (0, 0)
Foco: F(0, P/4)
Ecuación de la directriz: y= -P/4
4. Parábola con vértice en el origen, cuando es paralela al eje OY, y abre hacia abajo
Aqui P<0, sólo para que recuerden.
Sea la ecuación de la parábola:
x² = -4px
Las coordenadas del vértice son:
V (0, 0)
Las coordenadas del foco son:
F(0, -P/4)
Ya que "P" es menor a cero, es decir negativa(-).
Y La ecuación de la directriz:
y=P/4
Recapitulando, los datos de la parábola en este caso son:
Vértice: V (0, 0)
Foco: F(0, -P/4)
Ecuación de la directriz: y= P/4
Aqui viene lo bueno, jeje, no está tan complicado, es casi exactamente lo mismo.
5. Parábola con vértice fuera del origen, cuando es paralela al eje OX y abre a la derecha
Recordemos que sólo uno de los términos es cuadrático.
Sea la ecuación de la parábola:
(y - k)² = 4p (x - h)
Las coordenadas del vértice, al estar fuera del origen, y según la formúla son:
V(h, k)
Ahora, si regresan al primer caso de la parábola, el valor de una de las coordenadas del foco era "P/4", digamos que las coordenadas del foco serán casi exactamente las mismas, exceptuando el hecho de que ahora le sumaremos "P/4" a "h", entonces nos queda que las coordenadas del foco(F) son:
F(h + P/4, k)
Y si recuerdan, el valor de la ecuación de la directriz es el "contrario" al de una de las coordenadas del foco, entonces tenemos que:
x= h - P/4
Recapitulando, los datos de la parábola en este caso son:
Vértice: V(h, k)
Foco: F(h + P/4, k)
Ecuación de la directriz: x= h - P/4
6. Parábola con vértice fuera del origen, cuando es paralela al eje OX y abre a la izquierda.
Recordemos que aqui P<0.
Sea la ecuación de la parábola:
(y-k)² = -4p (x-h)
Las coordenadas del vértice son:
V(h, k)
Como "P" es negativa entonces las coordenadas del foco(F), lo repetiré hasta que lo recuerden y se harten, jeje:
F(h - P/4, k)
Caso contrario en la ecuación de la directriz:
x= h + P/4
Recapitulando, los datos de la parábola en este caso son:
Vértice: V(h, k)
Foco: F(h - P/4, k)
Ecuación de la directriz: x= h + P/4
7. Parábola con vértice fuera del origen, cuando es paralela al eje OY y abre hacia arriba
De igual manera solo hay que agregar el valor de "P/4", positivo o negativo según el caso, pero ahora al valor de "k", para el valor del foco y la directriz, claro está. Aquí P>0, por tanto positiva, sólo para recordar.
Sea la ecuación de la parábola:
(x - h)² = 4p(y - k)
Las coordenadas del vértice son:
V(h, k)
Coordenadas del foco:
F(h, k + P/4)
Ecuación de la directriz:
y= k - P/4
Recapitulando, los datos de la parábola en este caso son:
Vértice: V(h, k)
Foco: F(h, k +P/4)
Ecuación de la directriz: y= k - P/4
8. Parábola con vértice fuera del origen, cuando es paralela al eje OY y abre hacia abajo
P<0, "p" es negativa.
Sea la ecuación de la parábola:
(x - h)² = -4p(y - k)
Las coordenadas del vértice son:
V(h, k)
Coordenadas del foco:
F(h, k - P/4)
Ecuación de la directriz:
y= k + P/4
Recapitulando, los datos de la parábola en este caso son:
Vértice: V(h, k)
Foco: F(h, k -P/4)
Ecuación de la directriz: y= k + P/4
Bien , sólo para finalizar, recordemos que la ecuación del parábola nos dirá respecto a que eje se encuentra, ya sea que consideren quien tiene el valor cuadrático o quien no en la ecuación, y el valor de "P" nos dirá haciendo donde abre.
- Si P>0, la parábola abre hacia la derecha, y hacia arriba, en el caso del eje OX y OY, respectivamente.
- Si P<0, la parábola abre hacia la izquierda y hacia abajo, en el caso del eje OX y OY, respectivamente.
Si podemos notar, cuando "P", es negativo, la parábola en el plano cartesiano abre con dirección a X' y Y', para quienes no entiendan, es "x prima" y "y prima", es decir, donde "x" y "y" tienen sus valores negativos, curioso y predecible, jeje.
Bueno eso es todo, espero haya quedado claro.
Si tienen alguna duda, sugerencia, petición y está dentro de mis posibilidades responderla no duden en decírmela.
Ciao ciao.
Ayudar es instruir no inutilizar.
©Alexander Zante
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