Ayuda en Matemáticas: Parábola (Teoría e Imágenes)

Por Az.

El artículo anterior a éste era para resolver un problema de parábola que encontré en YahooRespuestas, bien, ahora vamos a ver lo que respecta a la teoría, es decir formúlas y como saber que hacer, támbien pondré problemas y ejemplos, si veo que se va haciendo muy extenso este artículo los ejemplos los paso a otro, ¡andiamo a cominciare!

Hay dos casos en la Parábola:

• Con vértice en el origen
• Con vértice fuera del origen

Y por cada caso hay otros dos casos:

• Cuando la parábola es paralela al eje OX, es decir es horizontal; vale vale, una explicación más sencilla, es cuando la parábola abre hacia la izquierda o a la derecha.
• Cuando la parábola es paralela al eje OY, es decir es vertical; es cuando abre hacia arriba o hacia abajo, sólo para aclarar.

Antes de seguir voy a mencionar los elementos que conforman a la parábola:

p-> distancia del foco a la directriz

F-> foco

V-> vértice

d-> directriz

1.  Parábola con vértice en el origen, cuando es paralela al eje OX y abre a la derecha

Pese al titulo, esto no es complicado, a decir verdad lo estoy desglosando lo mayor posible para que quede bien entendido.

Sea la ecuación de la parábola:

y² = 4px

Bien antes de seguir quiero aclarar lo siguiente, ¿Cómo demonios sé cuando una parábola esta con respecto al eje OX o al eje OY?

En la ecuación de la parábola sólo uno de los términos es un término cuadrático, como vemos "y²", esto es de ley en la ecuación de una parábola.

Podríamos decir que una parábola abrirá hacia la izquierda o la derecha cuando en la ecuación de dicha parábola "y" es el único término cuadrático o podríamos decir que es cuando en dicha ecuación "x" no es un término cuadrático, lo dejo a criterio de uds, como les sea más fácil recordar.

Continuando,como su nombre lo indica, el vértice está en el origen (¿¡me lo juras!?), por lo que las coordenadas del mismo son:

V(0,0)

Ahora, las coordenadas del foco son:

F(P/4, 0)

Por cierto, "4p" es el valor del lado recto que se representa así: LL'.

Y "p" es la longitud del segmento comprendido entre el foco (F) y el vértice (V).

La explicación de porqué es "P/4" una de las coordenadas del foco se las debo, para ello debería profundizar al cómo se obtuvo la ecuación de la parábola y demás, jeje.

Bien, el valor que obtengamos al hallar "P", nos dirá para donde abrirá la parábola, de momento solo veremos con respecto al eje OX, es decir si abre a la derecha o izquierda.

Para los casos del eje OX, cuando:

• "P" es mayor a cero, P>0, la parábola abre hacia la derecha
• "P" es menor a cero, P<0, la parábola abre hacia la izquierda

En este caso "P" es positivo, como dice el subtitulo, abre a la derecha.

La ecuación de la directriz es:

x= -P/4

Se podría decir que es el valor contrario a la coordenada del foco.

Recapitulando tenemos que los datos de una parábola que abre a la derecha, es decir cuando "P" es positivo son:

Vértice: V(0,0)

Foco: F(P/4, 0)

Ecuación de la directriz: x= -P/4

2.  Parábola con vértice en el origen, cuando es paralela al eje OX y abre a la  izquierda

Como dije, "P" es lo que condiciona para donde ha de abrir una parábola, por tanto aquí P<0

Sea la ecuación de la parábola:

y² = -4px

Tenemos que su vértice sigue teniendo las mismas coordenadas:

V (0,0)

Como "P" es menor a cero, es decir negativa (-), las coordenadas del foco serán:

F(-P/4, 0)

Y la ecuación de la directriz, como dije, podríamos entender que es contaria a la coordenada del foco, por tanto:

x= P/4

Recapitulando, tenemos que los datos de ésta parábola son:

Vértice: V (0,0)

Foco: F(-P/4, 0)

Ecuación de la directriz: x= P/4

3.   Parábola con vértice en el origen, cuando es paralela al eje OY, y abre hacia arriba.

 Antes de continuar, quiero recordarles que la ecuación de la parábola y el valor de "P" son los que determinan en que eje se encuentra una parábola y hacia donde abre.

Para los casos del eje OY, cuando:

• "P" es mayor a cero, P>0, la parábola abre hacia arriba.
• "P" es menor a cero, P<0, la parábola abre hacia abajo.

Entonces aquí P>0

Sea la ecuación de la parábola:

x² = 4py

Las coordenadas del vértice seguirán siendo las mismas:

V (0, 0)

Ahora las coordenadas del foco serán:

F(0, P/4)

Esto es por que ahora estamos con respecto al eje OY.

La ecuación de la directriz ha de ser:

y= -P/4

Recapitulando, los datos de la parábola en este caso son:

 Vértice: V (0, 0)

Foco: F(0, P/4)

Ecuación de la directriz: y= -P/4

4.  Parábola con vértice en el origen, cuando es paralela al eje OY, y abre hacia abajo

Aqui P<0, sólo para que recuerden.

Sea la ecuación de la parábola:

x² = -4px

Las coordenadas del vértice son:

V (0, 0)

Las coordenadas del foco son:

F(0, -P/4)

Ya que "P" es menor a cero, es decir negativa(-).

Y La ecuación de la directriz:

y=P/4

Recapitulando, los datos de la parábola en este caso son:

Vértice: V (0, 0)

Foco: F(0, -P/4)

Ecuación de la directriz: y= P/4

Aqui viene lo bueno, jeje, no está tan complicado, es casi exactamente lo mismo. 

5.  Parábola con vértice fuera del origen, cuando es paralela al eje OX y abre a la derecha

Recordemos que sólo uno de los términos es cuadrático.

Sea la ecuación de la parábola:

(y - k)² = 4p (x - h)

Las coordenadas del vértice, al estar fuera del origen, y según la formúla son:

V(h, k)

Ahora, si regresan al primer caso de la parábola, el valor de una de las coordenadas del foco era "P/4", digamos que las coordenadas del foco serán casi exactamente las mismas, exceptuando el hecho de que ahora le sumaremos "P/4" a "h", entonces nos queda que las coordenadas del foco(F) son:

F(h + P/4, k)

Y si recuerdan, el valor de la ecuación de la directriz es el "contrario" al de una de las coordenadas del foco, entonces tenemos que:

x= h - P/4

Recapitulando, los datos de la parábola en este caso son:

Vértice: V(h, k)

Foco: F(h + P/4, k)

Ecuación de la directriz: x= h - P/4

6.  Parábola con vértice fuera del origen, cuando es paralela al eje OX y abre a la izquierda.

Recordemos que aqui P<0.

Sea la ecuación de la parábola:

(y-k)² = -4p (x-h)

Las coordenadas del vértice son:

V(h, k)

Como "P" es negativa entonces las coordenadas del foco(F), lo repetiré hasta que lo recuerden y se harten, jeje:

F(h - P/4, k)

Caso contrario en la ecuación de la directriz:

x= h + P/4

Recapitulando, los datos de la parábola en este caso son:

Vértice: V(h, k)

Foco: F(h - P/4, k)

Ecuación de la directriz: x= h + P/4

7.  Parábola con vértice fuera del origen, cuando es paralela al eje OY y abre hacia arriba

 De igual manera solo hay que agregar el valor de "P/4", positivo o negativo según el caso, pero ahora al valor de "k", para el valor del foco y la directriz, claro está. Aquí P>0, por tanto positiva, sólo para recordar.

Sea la ecuación de la parábola:

(x - h)² = 4p(y - k)

Las coordenadas del vértice son:

V(h, k)

Coordenadas del foco:

F(h, k + P/4)

Ecuación de la directriz:

y= k - P/4

 

Recapitulando, los datos de la parábola en este caso son:

Vértice: V(h, k)

Foco: F(h, k +P/4)

Ecuación de la directriz: y= k - P/4

8.  Parábola con vértice fuera del origen, cuando es paralela al eje OY y abre hacia abajo

 P<0, "p" es negativa.

Sea la ecuación de la parábola:

(x - h)² = -4p(y - k)

Las coordenadas del vértice son:

V(h, k)

Coordenadas del foco:

F(h, k - P/4)

Ecuación de la directriz:

y= k + P/4

 

Recapitulando, los datos de la parábola en este caso son:

Vértice: V(h, k)

Foco: F(h, k -P/4) 

Ecuación de la directriz: y= k + P/4

 

Bien , sólo para finalizar, recordemos que la ecuación del parábola nos dirá respecto a que eje se encuentra, ya sea que consideren quien tiene el valor cuadrático o quien no en la ecuación, y el valor de "P" nos dirá haciendo donde abre.

• Si P>0, la parábola abre hacia la derecha, y hacia arriba, en el caso del eje OX y OY, respectivamente.
• Si P<0, la parábola abre hacia la izquierda y hacia abajo, en el caso del eje OX y OY, respectivamente.

Si podemos notar, cuando "P", es negativo, la parábola en el plano cartesiano abre con dirección a  X' y Y', para quienes no entiendan, es "x prima" y "y prima", es decir, donde "x" y "y" tienen sus valores negativos, curioso y predecible, jeje.

Bueno eso es todo, espero haya quedado claro.

Si tienen alguna duda, sugerencia, petición y está dentro de mis posibilidades responderla no duden en decírmela.

Ciao ciao.

Ayudar es instruir no inutilizar.
©Alexander Zante

Ayuda en Matemáticas II: Nociones de Geometría Analitica

Por Az.

Hay muchos temas que poner y no sé por donde empezar, ¡demonios!
Vale, a ver que sale.

Antes de comenzar, traten de recordar mis abreviaciones, asi no tengo que alargar tanto esto, por ejemplo Pm: punto medio, m: pendiente, etc, más adelante lo verán.


Lección II:  Nociones de Geometría Analítica

Pondré principalmente las formulas que se ocupan, de momento puede no haber una explicación detallada sobre su aplicación, en el siguiente artículo haré un ejercicio aplicando y explicando las formulas.

•  Formula de la distancia entre dos puntos:

Para usar esta formula necesitamos conocer las coordenadas de dos puntos; podemos emplearla para hallar la longitud de un lado de una figura geometrica ubicada en el plano cartesiano.

d= √ (x1 -  x2)² + (y1 - y2)²

Donde:

(x1, y1) ---> son los valores del Punto P1
(x2, y2) ---> son los valores del Punto P2

• Formula para hallar el punto medio

Es principalmente útil para hallar las alturas, medianas y mediatrices en un triángulo, para así conseguir el punto de intersección entre ellas que respectivamente son, ortocentro, baricentro y circuncentro.

Pm(x)= x1 + x2/ 2

Pm(y)= y1 + y2/2

(Todo dividido entre dos)

Donde:

(x1, y1) ---> son los valores del Punto P1

(x2, y2) ---> son los valores del Punto P2

Los valores que obtengamos, son las coordenadas del punto medio, teniendo de coordenadas:

Punto medio ( Pm(x), Pm(y) )

• Formula de la pendiente

Hay dos formas para obtenerla:
*Si conocemos el ángulo de inclinación de una recta dada
*Si conocemos el valor de dos puntos

Para el primer caso, la formula es la siguiente:

m= tg θ

Donde:m --> pendiente
tg --> tangente
θ --> valor del ángulo

Para el segundo caso, tenemos que:

m= y1 - y2/ x1 - x2

Donde:
m --> pendiente
(x1, y1) ---> son los valores del Punto P1

(x2, y2) ---> son los valores del Punto P2

Cabe mencionar que, cuando dos rectas son paraleas entre si,  sus pendientes son iguales; y cuando dos rectas son perpendiculares,  sus pendientes son reciprocas y de signo contrario, y el producto de ellas es igual a "-1"

• Ecuación de la recta de la forma punto-pendiente

Para usar ésta formula obviamente necesitamos un punto y el valor de la pendiente de la recta en la que se encuentre dicho punto.


y - y1= m ( x - x1)

Donde:
(x1, y1) --> son los valores del punto que tenemos o seleccionamos, segun el caso.
m --> valor de la pendiente que ya tenemos o que hallamos con dos puntos (ver formula de la "m")
"x" y "y" son términos que pertenecen a nuestra futura ecuación.

En la formula SUSTITUIREMOS VALORES SOLO para el punto y la pendiente.

• Ecuación de la recta de la forma simétrica

Nos sirve para conocer donde es que una recta corta con el eje "y" y el eje "x", ¿y eso a mí que?, pensaran algunos, pero su utilidad es la de ubicar donde es que se localiza una recta para darnos una noción mas precisa.

x / a + y / b = 1

Donde:
a --> es la intersección con el eje x
b --> la intersección con el eje y

Tienen un coordenada en cero "a" y "b" porque solo nos interesa donde cortan con los ejes, entonces tenemos que:

Las coordenadas para el punto de corte en el eje x son: P1 (a, 0)
Las coordenadas para el punto de corte en el eje y son: P2 (0, b)



Simplemente es pasar una ecuacion a esta forma.

1. Ejemplo

Sea la ecuacion

2x + 3y + 6= 0 

Primero pasamos el termino independiente, es decir el que no posee literal, el "6", al otro lado de igual.

2x + 3y= -6

Se vuelve negativo el "6", porque los términos que pasan al otro lado de igual deben cruzar con la operación contraria, la resta es contraria a la suma, solo para aclarar.
Ahora lo que haremos será dividir toda la ecuación entre el término independiente, con todo y signo en el caso de los negativos, ya que la ecuación debe ser igualada a "1", entonces...

2x/-6 + 3y/-6= -6/-6

Simplificamos...

x/-3 + y/-2 =1    [esta es nuestra ecuación]

Y nuestras coordenadas de los puntos de intersección son:

P1 (-3, 0)
P2 (0, -2)

Por cierto que los coeficientes de "x" y "y" tienen que valer 1.

• Lineas, ó rectas, en un tríangulo

No sé si estoy en lo correcto para referirme a lo siguiente, pero bueno.

Entre las lineas o rectas que podemos encontrar en un triángulo están:

*Mediana
Es la linea recta que va de uno de los vértices del triángulo al punto medio del lado opuesto, el punto de intersección de las medianas se llama, Baricentro.

*Mediatriz
 Linea perpendicular al punto medio de un segmento, el punto de intersección de las mediatrices se llama, Circuncentro.

*Altura
Linea que va de uno de los vértices del triangulo al lado opuesto siendo perpendicular, el punto de intersección entre las alturas se llama, Ortocentro.

Resumen de formulas. [Editando]