Bioquímica I: Carbohidratos parte I

Por JazZ

Breve introducción:
Mucho tiempo de no escribir nada aquí. Más adelante retomaré algunas explicaciones sobre temas de matemáticas, por ahora, es más sencillo tratar cosas que veo a diario y que también me gustan...

La "temida bioquímica" por los estudiantes de Medicina, que en su momento me hizo batallar un poco, pero es fundamental y que facilita todo lo que se ve en los años próximos.
Así que mi consejo es, ya sea que la amen u odien, traten de ganársela (entenderla) porque será la relación más larga que tendrán...

• Definición

La definición que les daré, parecerá en un principio, un tanto complicada, pero engloba las características principales de los carbohidratos, uno de nuestros profesores nos hizo aprenderla tal cual:

Derivados aldehídicos o cetónicos de alcoholes polihidróxilicos

Explicación

Los carbohidratos tienen dos grupos funcionales (mutuamente excluyentes, es decir, sólo se presenta o uno u otro en un carbohidrato, nunca ambos a la vez)

1. Aldehído (CH=O)
2. Cetona (C=O)

Lo que está encerrado en paréntesis es la representación del grupo funcional*

Son derivados de alcoholes, cuyo grupo funcional es el hidroxilo (-OH), de los cuales un carbohidrato posee muchos.
En resumidas cuentas, un carbohidrato posee un grupo funcional: ALDEHIDO o CETONA, y muchos -OH.

Ya sé cuál es el grupo funcional pero, ¿estos tienen una ubicación específica?
La respuesta es sí.

1. El grupo aldehído siempre se ubica en un extremo, y se considera a este extremo como el carbón número uno.
2. El grupo cetona, siempre se ubica en el segundo carbono.

Es forzoso aprenderse los grupos funcionales para que todo resulte más sencillo.

Sólo basta recordar que:
ALDEHÍDO es CHO
CETONA es CO

Y que la doble ligadura (=) une al carbono con el oxígeno

• Funciones

Principalmente es la enérgetica, después la de reserva y estructurales.
Esta última (estructural) es de vital importancia no sólo para plantas y bacterias (ya que es el componente más abundante de su pared celular, sino es que el único), sino también para las células animales, pues la membrana plasmática posee algunas moléculas formadas, en parte por carbohidratos, como las glucoproteínas.

• Clasificación

Esta se basa en la capacidad de separar las moléculas (mediante hidrólisis) de los carbohidratos, hasta obtener su forma más simple, la cual es indivisible por este método.

(La hidrólisis, es el proceso mediante el cual una molécula de agua rompe un enlace químico)

La forma más simple, o el carbohidrato más simple es el monosacárido, ya que está compuesto por una sola molécula.

Un monosacárido es una ÚNICA molécula de cualquier carbohidrato

(Disculpen la redundancia pero es para que quede claro)*

• Un DISACÁRIDO, es un carbohidrato, que al hidrolizarse libera 2 monosacáridos.
• Un OLIGOSACÁRIDO, es un carbohidrato, que al hidrolizarse libera 2 o más monosacáridos. Algunos fijan el límite en 10 y otros hasta en 20.
• En el caso de los POLISACÁRIDOS, están formados por muchos monosacáridos; algunos marcan el inicio de un polisacárido cuando está formado por >10 monosacáridos

A su vez, un monosacárido varía en cuanto al número de carbonos que lo forman, van desde 3 hasta 7 carbonos.

Aquí comienza a complicarse el asunto.

Los monosacáridos pueden nombrarse de múltiples formas:

1. Sea a través de nombres propios (como el que aparece en nuestra acta de nacimiento)

2. Según el grupo funcional

3. Según el número de carbonos

4. Según el grupo funcional y el número de carbonos

No hay nada mejor que un ejemplo para explicar estas cosas (sigamos usando esta imagen)

Nota:

La terminación "-osa" designa a los carbohidratos

1. Considerando sólo sus grupos funcionales, tenemos que:
El carbohidrato de la izquierda es una ALDOSA ("ald-" derivado de su grupo funcional aldehído y "-osa" de azúcar)
El carbohidrato de la derecha es una CETOSA ("cet-" derivado de su grupo funcional cetona y "-osa" de azúcar)

2. Considerando sólo el número de carbonos, tenemos que:
Tanto el carbohidrato de la izquierda como el de la derecha son HEXOSAS

Para los números basta con recurrir a la etimología, utilizando los prefijos:
Tri-> TriOSA
Tetra-> TetrOSA
Penta-> PentOSA
Hexa-> HexOSA
Hepta-> HeptOSA

¡Fácil!

3. Considerando tanto el grupo funcional como el número de carbonos, tenemos que:

El carbohidrato de la izquierda es una ALDOHEXOSA
El carbohidrato de la derecha es una CETOHEXOSA

Nota: primero colocar el grupo funcional y después el número de carbonos, al momento de nombrarlos.


4.Considerando su nombre propio, tenemos que:
El carbohidrato de la izquierda, se trata nada más y nada menos, de la GLUCOSA
Mientras que el del lado derecho, se trata de la FRUCTOSA


Acá viene algo, que algunos ya debieron haber anticipado:

-Bueno, en la imagen es fácil diferenciar un carbohidrato del otro porque tienen diferente grupo funcional (aldehído uno, cetona el otro) pero,
¿cómo diferenció entre carbohidratos que tienen el mismo grupo funcional y el mismo número de carbonos?

Para responder esto, es necesario conocer las formas de representar la estructura de los carbohidratos.

Hasta donde sé, existen 3 tipos de proyecciones.

1. Proyección de Fischer

Esta se utiliza para todos los carbohidratos, no importando el número de carbonos.
Como podrán notar en la de la izquierda están señalados todos los elementos (carbonos, hidrógeno, oxígeno e hidroxilos), mientras que en la de la derecha, se prescindió de los carbonos.

En ocasiones resulta un poco más cómodo usar la de la derecha, pues es más rápido de elaborar pero, para quienes están comenzando a entender puede resultar algo confuso, así que primero familiarícense y practiquen con la de la izquierda.

Sólo como dato, la proyección de la izquierda pueden reducirse aún más, quitando los hidrógenos y dejando sólo los hidroxilos (-OH), que son los de importancia.

En un momento explicaré el por qué son relevantes los -OH



2. Proyección de Haworth

Esta se utiliza para representar carbohidratos formados por 5 y  6 carbonos, es una estructura ciclíca.
Las pentosas (5 carbonos) producen un anillo en forma de pentágono, mientras que las hexosas (6 carbonos) producen un anillo en forma de hexágono.

3. Proyección en silla de montar

De esta no sé absolutamente nada (soy honesto), pero si tengo tiempo y leo un poco más la explicaré, aunque las más útiles son las primeras dos (la de Fischer y la de Haworth, así que no se preocupen).

Ahora sí, retomando la proyección de Fischer, todo parte de esta...

Ejemplos de Problemas Resueltos II

JazZ

No estaba muerto, si no estudiando medicina xD, que equivale casi a lo mismo, bien bien, no hay mejor manera de pasar mis vagaciones que resolviendo problemas de matematicas y repasando anatomia *sarcasmo*, cosa que sirve para dos cosas, para mantener mi mente activa y prepararme por si debo dar clases de matematicas de nuevo, jeje, necesito dinero u.u

Increible que personas visiten el blog jeje, todo va viento en popa, pero regresando a lo que realmente les interesa, problemas para que se ayuden y puedan entender mejor está materia que a la mayoría les resulta complicada, veamos...

Continua...

Continua...

Continua y fin...

Esto saben es para que entiendan y puedan hacerlo por ustedes mismo despues...


Iré a jugar un rato basquet, regresaré, ciao ciao



 Otro problema....

Continua...

Continuación y fin:

Haré la gráfica, jeje, esperen por favor.

Voy a añadir una cosa más

Es lo mejor que pude hacer con Paint jeje, seguiré por aquí por si hay alguna duda, espero les ayude para que entiendan y comprendan las matemáticas, no facilitó respuestas así como así, por lo menos intenten resolver el problema y si no pueden despues de dedicarle un rato (no 5 minutos solamente), pues pidan ayudan, a veces estos ejercicios son muy sencillos, sólo es cuestión de enfocar hacia otro lado...



Otro problema, más bien es para dar una noción, yo quiero creer que el otro vértice debe estar en el "eje y" y no en el  eje x, porque de otra manera no se forma un triangulo rectangulo, o tal vez me volvi a equivocar jeje..., espero te sea útil

Ayudar es instruir, no inutilizar.
©Alexander Zante

Ayuda en Matemáticas: Ejemplos de problemas resueltos I (Todos los temas)

Por Az.

Como dice el largo titúlo, iré poniendo en este artículo problemas resueltos, que les sirvan de ejemplo a ustedes, o a los pocos visitantes que entran por acá, jeje.

Van con todo y explicación, tardaré algo en ponerlos, puesto que los estoy haciendo en paint para que sean lo mayor entendible posibles, sugerencias o dudas, aquí.

Un problema de álgebra.

Un problema de circuferencia, veamos.

Se me acabo el espacio, jeje, va la continuación...

Ya al rato regreso para poner como quedaría el circulo y todo lo demás, las coordenadas del foco y el valor del radio, pues ya uds, los pueden sacar y también pueden resolver la otra ecuación siguiendo los mismos pasos.

Voy a comer-desayunar, jeje.

Otro problema de álgebra, le pido una disculpa  a quien le dije que pondría aquí su respuesta ayer, pero tuve problemas con mi internet. Ahora si pondré lo que me faltaba.

Ahorita pongo la continuación, me quedé a medias ayer, jeje.

 Continua...

Lo tuve que hacer algo apretado, porque mi internet sigue fallando un poco, pero al menos es entendible, ¿no?

Alguna duda, sugerencia o que necesiten ayuda para ENTENDER y no sólo para obtener una respuesta, aquí andaré...

Iré a YahooRespuestas a buscar preguntas interesantes y casos especiales, como éste.

Buscando cosas interesantes en YahooRespuestas! para poder poner aquí... no desesperen...

La resignación es, de todas, la peor forma de rendirse. 
©Alexander Zante

Ayuda en Matemáticas: Derivadas.

Bueno pues como siempre, vi una pregunta interesante en YahooRespuestas! y no pude evitar la necesidad de resolverla, jeje, son como una especie de vicio.

Derivada de un variable elevada a un exponente variable.

La derivada es la siguiente:

f(x)=  (√x+ 5) ^ x

Se supone que la variable está elevada a la "x"

Luego, con más calma lo paso en paint, jeje.

La formúla para derivar esto es la siguiente:

El desarrollo lo hice en paint, porque de otra manera no se entendería ni madres, seamos honesto, jeje, vale.

Ya que se me acabo el espacio, acá está la continuación.

html.rincondelvago.com/calculo-diferencial_2.html

Ahi dejo un link, donde vienen las formúlas para derivar, pero en forma de enunciado, jeje.

Bueno eso es todo por hoy, si tienen alguna duda, sugerencia, comentario o necesitan de ayuda, pues comenten, ya que no soy adivino, tengan en cuenta que yo explico mientras resuelvo y no sólo doy respuestas de manera fácil y práctica, eso lo hace cualquiera, y ese no es el punto de este blog, ni de mi persona.

Ciao ciao

Ayudar es instruir no inutilizar.
©Alexander Zante

Ayuda en Matemáticas: Parábola (Teoría e Imágenes)

Por Az.

El artículo anterior a éste era para resolver un problema de parábola que encontré en YahooRespuestas, bien, ahora vamos a ver lo que respecta a la teoría, es decir formúlas y como saber que hacer, támbien pondré problemas y ejemplos, si veo que se va haciendo muy extenso este artículo los ejemplos los paso a otro, ¡andiamo a cominciare!

Hay dos casos en la Parábola:

• Con vértice en el origen
• Con vértice fuera del origen

Y por cada caso hay otros dos casos:

• Cuando la parábola es paralela al eje OX, es decir es horizontal; vale vale, una explicación más sencilla, es cuando la parábola abre hacia la izquierda o a la derecha.
• Cuando la parábola es paralela al eje OY, es decir es vertical; es cuando abre hacia arriba o hacia abajo, sólo para aclarar.

Antes de seguir voy a mencionar los elementos que conforman a la parábola:

p-> distancia del foco a la directriz

F-> foco

V-> vértice

d-> directriz

1.  Parábola con vértice en el origen, cuando es paralela al eje OX y abre a la derecha

Pese al titulo, esto no es complicado, a decir verdad lo estoy desglosando lo mayor posible para que quede bien entendido.

Sea la ecuación de la parábola:

y² = 4px

Bien antes de seguir quiero aclarar lo siguiente, ¿Cómo demonios sé cuando una parábola esta con respecto al eje OX o al eje OY?

En la ecuación de la parábola sólo uno de los términos es un término cuadrático, como vemos "y²", esto es de ley en la ecuación de una parábola.

Podríamos decir que una parábola abrirá hacia la izquierda o la derecha cuando en la ecuación de dicha parábola "y" es el único término cuadrático o podríamos decir que es cuando en dicha ecuación "x" no es un término cuadrático, lo dejo a criterio de uds, como les sea más fácil recordar.

Continuando,como su nombre lo indica, el vértice está en el origen (¿¡me lo juras!?), por lo que las coordenadas del mismo son:

V(0,0)

Ahora, las coordenadas del foco son:

F(P/4, 0)

Por cierto, "4p" es el valor del lado recto que se representa así: LL'.

Y "p" es la longitud del segmento comprendido entre el foco (F) y el vértice (V).

La explicación de porqué es "P/4" una de las coordenadas del foco se las debo, para ello debería profundizar al cómo se obtuvo la ecuación de la parábola y demás, jeje.

Bien, el valor que obtengamos al hallar "P", nos dirá para donde abrirá la parábola, de momento solo veremos con respecto al eje OX, es decir si abre a la derecha o izquierda.

Para los casos del eje OX, cuando:

• "P" es mayor a cero, P>0, la parábola abre hacia la derecha
• "P" es menor a cero, P<0, la parábola abre hacia la izquierda

En este caso "P" es positivo, como dice el subtitulo, abre a la derecha.

La ecuación de la directriz es:

x= -P/4

Se podría decir que es el valor contrario a la coordenada del foco.

Recapitulando tenemos que los datos de una parábola que abre a la derecha, es decir cuando "P" es positivo son:

Vértice: V(0,0)

Foco: F(P/4, 0)

Ecuación de la directriz: x= -P/4

2.  Parábola con vértice en el origen, cuando es paralela al eje OX y abre a la  izquierda

Como dije, "P" es lo que condiciona para donde ha de abrir una parábola, por tanto aquí P<0

Sea la ecuación de la parábola:

y² = -4px

Tenemos que su vértice sigue teniendo las mismas coordenadas:

V (0,0)

Como "P" es menor a cero, es decir negativa (-), las coordenadas del foco serán:

F(-P/4, 0)

Y la ecuación de la directriz, como dije, podríamos entender que es contaria a la coordenada del foco, por tanto:

x= P/4

Recapitulando, tenemos que los datos de ésta parábola son:

Vértice: V (0,0)

Foco: F(-P/4, 0)

Ecuación de la directriz: x= P/4

3.   Parábola con vértice en el origen, cuando es paralela al eje OY, y abre hacia arriba.

 Antes de continuar, quiero recordarles que la ecuación de la parábola y el valor de "P" son los que determinan en que eje se encuentra una parábola y hacia donde abre.

Para los casos del eje OY, cuando:

• "P" es mayor a cero, P>0, la parábola abre hacia arriba.
• "P" es menor a cero, P<0, la parábola abre hacia abajo.

Entonces aquí P>0

Sea la ecuación de la parábola:

x² = 4py

Las coordenadas del vértice seguirán siendo las mismas:

V (0, 0)

Ahora las coordenadas del foco serán:

F(0, P/4)

Esto es por que ahora estamos con respecto al eje OY.

La ecuación de la directriz ha de ser:

y= -P/4

Recapitulando, los datos de la parábola en este caso son:

 Vértice: V (0, 0)

Foco: F(0, P/4)

Ecuación de la directriz: y= -P/4

4.  Parábola con vértice en el origen, cuando es paralela al eje OY, y abre hacia abajo

Aqui P<0, sólo para que recuerden.

Sea la ecuación de la parábola:

x² = -4px

Las coordenadas del vértice son:

V (0, 0)

Las coordenadas del foco son:

F(0, -P/4)

Ya que "P" es menor a cero, es decir negativa(-).

Y La ecuación de la directriz:

y=P/4

Recapitulando, los datos de la parábola en este caso son:

Vértice: V (0, 0)

Foco: F(0, -P/4)

Ecuación de la directriz: y= P/4

Aqui viene lo bueno, jeje, no está tan complicado, es casi exactamente lo mismo. 

5.  Parábola con vértice fuera del origen, cuando es paralela al eje OX y abre a la derecha

Recordemos que sólo uno de los términos es cuadrático.

Sea la ecuación de la parábola:

(y - k)² = 4p (x - h)

Las coordenadas del vértice, al estar fuera del origen, y según la formúla son:

V(h, k)

Ahora, si regresan al primer caso de la parábola, el valor de una de las coordenadas del foco era "P/4", digamos que las coordenadas del foco serán casi exactamente las mismas, exceptuando el hecho de que ahora le sumaremos "P/4" a "h", entonces nos queda que las coordenadas del foco(F) son:

F(h + P/4, k)

Y si recuerdan, el valor de la ecuación de la directriz es el "contrario" al de una de las coordenadas del foco, entonces tenemos que:

x= h - P/4

Recapitulando, los datos de la parábola en este caso son:

Vértice: V(h, k)

Foco: F(h + P/4, k)

Ecuación de la directriz: x= h - P/4

6.  Parábola con vértice fuera del origen, cuando es paralela al eje OX y abre a la izquierda.

Recordemos que aqui P<0.

Sea la ecuación de la parábola:

(y-k)² = -4p (x-h)

Las coordenadas del vértice son:

V(h, k)

Como "P" es negativa entonces las coordenadas del foco(F), lo repetiré hasta que lo recuerden y se harten, jeje:

F(h - P/4, k)

Caso contrario en la ecuación de la directriz:

x= h + P/4

Recapitulando, los datos de la parábola en este caso son:

Vértice: V(h, k)

Foco: F(h - P/4, k)

Ecuación de la directriz: x= h + P/4

7.  Parábola con vértice fuera del origen, cuando es paralela al eje OY y abre hacia arriba

 De igual manera solo hay que agregar el valor de "P/4", positivo o negativo según el caso, pero ahora al valor de "k", para el valor del foco y la directriz, claro está. Aquí P>0, por tanto positiva, sólo para recordar.

Sea la ecuación de la parábola:

(x - h)² = 4p(y - k)

Las coordenadas del vértice son:

V(h, k)

Coordenadas del foco:

F(h, k + P/4)

Ecuación de la directriz:

y= k - P/4

 

Recapitulando, los datos de la parábola en este caso son:

Vértice: V(h, k)

Foco: F(h, k +P/4)

Ecuación de la directriz: y= k - P/4

8.  Parábola con vértice fuera del origen, cuando es paralela al eje OY y abre hacia abajo

 P<0, "p" es negativa.

Sea la ecuación de la parábola:

(x - h)² = -4p(y - k)

Las coordenadas del vértice son:

V(h, k)

Coordenadas del foco:

F(h, k - P/4)

Ecuación de la directriz:

y= k + P/4

 

Recapitulando, los datos de la parábola en este caso son:

Vértice: V(h, k)

Foco: F(h, k -P/4) 

Ecuación de la directriz: y= k + P/4

 

Bien , sólo para finalizar, recordemos que la ecuación del parábola nos dirá respecto a que eje se encuentra, ya sea que consideren quien tiene el valor cuadrático o quien no en la ecuación, y el valor de "P" nos dirá haciendo donde abre.

• Si P>0, la parábola abre hacia la derecha, y hacia arriba, en el caso del eje OX y OY, respectivamente.
• Si P<0, la parábola abre hacia la izquierda y hacia abajo, en el caso del eje OX y OY, respectivamente.

Si podemos notar, cuando "P", es negativo, la parábola en el plano cartesiano abre con dirección a  X' y Y', para quienes no entiendan, es "x prima" y "y prima", es decir, donde "x" y "y" tienen sus valores negativos, curioso y predecible, jeje.

Bueno eso es todo, espero haya quedado claro.

Si tienen alguna duda, sugerencia, petición y está dentro de mis posibilidades responderla no duden en decírmela.

Ciao ciao.

Ayudar es instruir no inutilizar.
©Alexander Zante

Ayuda en Matemáticas: Parábola (Ejemplos)

Por Az.

De momento sólo pondré como se resuelve, luego edito la explicación.

Problema 1

x² - 20y = 0

x² = 20y  --> está es la ecuación de la parábola con vértice en el origen

Está es una parábola con vértice en el origen, por lo que:

V(0, 0)

Ahora sacaremos el valor de "p", para hallar las coordenadas del foco:

4p= 20

p= 20/4

p= 5

El valor de p es mayor a cero, por lo que abrirá hacia arriba.

Las coordenadas del foco son:

F(0, P/4)

F(0, 5/4)

La ecuación de la directriz es:

y= - P/4

y= -5/4

(En espera...)

Problema 2

(x - 12)² = 20 (y + 10)

El que el "x" sea el término cuadrático nos indica que la parábola esta con respecto al eje "y" es decir abrirá hacia arriba o abajo, dependiendo del valor de "p"

Ahora, ya que tenemos la ecuación de la parábola, esta nos indica que las coordenadas del vértice son:

 

V ( 12, - 10)

Ya que:

(x - h)² = 4p (y - k)²

Ahora hallaremos el valor de "p"; el "20" en la ecuación de nuestra parábola salió de:

4p= 20

Por tanto sólo es cuestión de despejar:

p= 20/4

p= 5

Como p>0, es decir es mayor a cero, en otras palabra positivo, la parábola abre hacia arriba.

Para hallar las coordenadas del foco nos valdremos del valor de "p".

Como puse anteriorme ya que es positivo la parabóla abrira hacia arriba, por lo que deberemos sumar P/4 al valor de "k" para hallar el valor de la segunda coordenada del foco.

Y debemos restarle P/4 al valor de "k" para hallar la ecuación de la directriz.

Entonces tenemos que:

Las coordenadas del foco son:

F ( h, k + P/4)

F ( 12, -10 + 5/4)

F (12, -35/ 4)

El -35/4, vendrían siendo como unos -8 enteros y 3/4

Ecuacion de la directriz:

y= k - p/4

y= -10 - 5/4

y= - 45/4

Vienen siendo como -11 enteros y 1/4

Recapitulando

Ahora, la ecuación de la parábola, que ya teníamos es:

(x - 12)² = 20 (y + 10)

Las coordenadas del vértice de la parábola son:

V ( 12, - 10)

El valor de "p" es:

p= 5

Las coordenadas del foco(F) son:

F (12, -35/ 4)

Y la ecuación de la directriz de la parábola es:

y= - 45/4

Algo así quedaría en la parábola; sé dibujar a mano, pero soy pésimo en paint, no sean tan crueles por favor, jeje.

Agregaré algunas imágenes a los otros artículos cuando tenga algo de tiempo, ahora ando buscando empleo, ¿alguien que viva en veracruz y necesite clases particulares de matemáticas?, jeje.

Espero les sirva de algo, esto lo hice así porque era para responder una pregunta, ahora haré la teoría para que se entienda mejor, pero en otro artículo.

Ciao ciao, saludos desde Veracruz, México a todo el que pase por el blog.

Ayudar es instruir no inutilizar.
©Alexander Zante

Ayuda en Matematicas: Circunferencia (Parte I)

Por Az.

No sé cuantos artículos sean necesarios para cada tema pero intentaré incluir en cada explicación un problema para que se haga entendible, ¿vale?, comenzaré.

En lo que respecta a este tema hay diferentes problemas para cuando queremos hallar la ecuación de la circunferencia de un circulo, valga la estúpida redundancia, ya que hay varios casos:

Cuando tenemos una recta tg (tangente) y el centro del circulo.

Cuando tenemos un punto que se encuentra en la circunferencia y el centro del circulo esta sobre una recta.

Cuando tenemos dos puntos que forman el diametro (este caso es sencillo), y demás.

Hoy trataré:

• Ecuación de la circunferencia que pasa por 3 puntos

Esto tuve que aprenderlo, ya que debía enseñarlo a unas chicas de las cuales era maestro particular, no me lo enseño mi maestro pero lo aprendí de un libro después de repasarlo y hacer unos ejercicios.

Resolviendo un problema que vi en YahooRespuestas:

Determinar la circunferencia que pasa por los puntos

A (2, -2)

B (-1, 4)

C (4, 6)

Citando, a mi manera, la explicación del libro:

La circunferencia tiene una Ecuación de la Forma General:

x² + y² + Dx + Ey + F= 0

Donde:

x, y  --> representan a un punto que se encuentra en la circunferencia

D, E, ---> son los coeficientes que acompañan en la ecuacion al punto

F ---> representa al término independiente.

Todo punto que se encuentre sobre la circunferencia debe satisfacer la ecuacion de la circunferencia.

Como sabemos que "x" y "y" son los valores de un punto que está sobre la circunferencia, y tenemos tres puntos A, B y C, sustituiremos esos valores en la Ecuación de la Forma General, obtendremos tres ecuaciones:

A (2, -2)  -->  (2)² + (-2)² + D(2) + E(-2) + F = 0

4 + 4 + 2D - 2E + F = 0

8 + 2D - 2E + F = 0    ---> Ecuación 1

-------------------------------------------------------

B (-1, 4)  -->  (-1)² + (4)² + D(-1) + E(4)  + F = 0

1 + 16 -D + 4E + F = 0

17 - D + 4E + F = 0    ---> Ecuación 2

-------------------------------------------------------

C (4, 6)   -->  (4)² + (6)² + D(4) + E(6) + F = 0

16 + 36 + 4D + 6E + F = 0

52 + 4D + 6E + F = 0    ---> Ecuación 3

"F" es el único que quedara con valor de "1" por el momento.

Ahora resolvemos por cualquier método este sistema de ecuaciones.

8 + 2D - 2E + F = 0     Ecuacion 1

17 - D + 4E + F = 0     Ecuacion 2

52 + 4D + 6E + F = 0     Ecuacion 3

Ayer intente resolverlo aqui, pero sólo podía comprobar dos ecuaciones de las tres, en estos casos como en cualquier sistema de ecuaciones es importante la comprobación pues nos pueden salir infinidad de resultados unos aptos para una o dos ecuaciones, como lo que me paso a mí, pero no para todas, veamos.

Vamos a eliminar primero de nuestro sistema de ecuaciones a "E"

Resolviendo 1 y 3 por el método de suma y resta.

(ver el artículo de ecuaciones para quien no sabe como hacerlo)

2D - 2E + F= - 8

4D + 6E + F= -52

(2D - 2E + F= - 8) (3)   --> 6D - 6E + 3F=-24  --> multiplicamos por 3 para que se elimine con el "+6E"

6D - 6E + 3F= -24

4D + 6E + F=  -52

--------------------

10D + 0 + 4F = -76         ---->         10D + 4F= -76   Nueva ecuación 1

Resolviendo 2 y 3 por el método de suma y resta.

- D + 4E + F = -17

4D + 6E + F = -52

Cruzamos los coeficientes para multiplicar y poder eliminar a "E", recordemos que ambos términos deben tener diferente signo para poder eliminar por lo que multiplicaremos a una de las ecuaciones por un valor negativo

(- D + 4E + F = -17)  (-6)  ---> 6D - 24E - 6F = 102

(4D + 6E + F = -52)  (4)  --->  16D + 24E + 4F = -208

6D - 24E - 6F = 102

16D + 24E + 4F = -208

-----------------------------

22D + 0 - 2F = -106        --->     22D - 2F = -106      Nueva ecuación 2

Ahora resolvemos nuestro nuevo sistema de ecuaciones formado por:

10D + 4F= -76                 Nueva ecuación 1

 22D - 2F = -106              Nueva ecuación 2

Vamos a utilizar el método de sustitución en la nueva ecuación 1, despejando el valor de " D"

Entonces tenemos que:

D= - 76 - 4F/ 10    ---> todo dividido entre "10"

Sustituyendo en la nueva ecuacion 2...

22( -7  - 4F/ 10) - 2F = -106

En estos casos lo que hago es dejar sólo al término que sustitui, de la siguiente manera

22( -7 - 4F / 10) = -106 + 2F

Podemos pasar el denominar de "10", desde ahora, al otro lado para que multiplique a los otros términos puesto que "22" como es una multiplicación  de fracciones sólo multiplica a los numeradores, o podemos multiplicar por "22" y despues cuando quitemos los paréntesis pasamos el 10, al gusto de cada quien.

- 1672 - 88 F/ 10 = -106 + 2F

-1672 - 88F = (-106 + 2F) (10)

-1672 - 88F = -1060 + 20F   --> acomodamos los términos

-88F - 20F = -1060 + 1672

-108F = 612             --> despejamos para sacar el valor de F

F = 612/ -108         --->              F = -51/9          --->              F = -17/3

Ahora hallemos el valor de "D", cuando despejamos "D" para sustituir dijimos que es:

D= - 76 - 4F/ 10    --> recuerden que es todo entre "10"

D= - 76 - 4(-17/3) / 10   --> pasamos el valor de -76 a fracción

D= -228/ 3 + 68/3  /10   --> resolvemos la suma de fracciones

D= (-160/ 3) /10

Lo de arriba se lee - 160 tercios entre 10, para que no se confundan, hacemos la operación y nos queda:

D= -160/ 30         --->                  D= -80/15             --->           D= -16/ 3

Ahora hallemos el último valor usando:

4D + 6E + F = -52  

Voy a utilizar ésta ecuación para obtener el valor de "E" ya que fue la que me dio más problemas, era en la única que no me salía la comprobación.

6E= -52 - 4D -F   --> aun no pasaré el 6 para que no nos revolvamos, jeje

6E= - 52 - 4( -16/3) - (-17/3)    -->pasamos el -"52" a fracción

6E= - 156/ 3 + 64/3 + 17/3

6E= -156/3 + 81/3

6E= -75/3    --> aqui si podemos sacar un número entero de la fracción

6E= -25

E= -25/6

----------------------------

Sé que es algo tedioso pero comprobemos las ecuaciones:

D= -16/ 3

E= -25/6

F = -17/3

Ecuacion 1:              2D - 2E + F = -8

2( -16/3) - 2(-25/6) - 17/3 = -8

-32/3 + 25/3 - 17/3 = -8

-49/3 + 25/3 = -8

-24/3 = -8

-8 = -8

Ecuacion 2:            -D + 4E + F = -17

-(-16/3) + 4( -25/6) - 17/3 = -17

16/3 - 50/3 - 17/3 = -17

16/3 - 67/3 = -17

-51/3 = -17

-17 = -17

Ecuacion 3:             4D + 6E + F = -52

4(-16/3) + 6( -25/6) - 17/3 = -52

-64/3 - 25 - 17/3 = -52

-81/3 - 25 = -52

-27 - 25 = -52

-52 = -52

-----------

Hemos comprobado que están bien los valores, ahora saquemos la ecuación general de la circunferencia, la cual obtenemos apartir de la siguiente formúla.

x² + y² + Dx + Ey + F = 0      Ecuacion General de la Circunferencia

Bien, ahora solo sustituiremos los valores de D, E y F en la ecuación.

D= -16/ 3

E= -25/6

F = -17/3

 

x² + y² + (-16/3)x + (-25/6)y +(-17/3) = 0

x² + y² -16/3 x - 25/6 y = 17/3    --> ésta es nuestra ecuación de la forma general

Para pasar esa ecuacion a la forma ordinaria primero acomodamos los términos en relación a "x" y "y", así:

(x² - 16/3 x) + (y² - 25/6 y) = 17/3

Ahora procedemos a acompletar los binomios, los términos que añadamos se los sumaremos al término independiente osea a 17/3, para no desbalancer la ecuación..

Por como se ordena un binomio sabemos que el "-16/3 x" y el "-25/6 y", son el resultado del doble producto del primero por el segundo término, por lo que para hallar el valor del segundo término solo debemos dividirlo entre 2 y quitarle su literal:

Para el caso de "x"

2? = -16/3

?--> corresponde al valor del término independiente, si despejamos nos quedaría así:

?= (-16/3 ) /2

?= -16/ 6 ---> -8/3

Para el caso de "y"

2?= -25/ 6

?= (-25/6) / 2

?= -25/ 12

Los términos que obtuvimos los elevaremos al cuadrado ya que el único término que falta en el binomio es el segundo término elevado al cuadrado, entonces tenemos que:

(x² - 16/3 x + (- 8/3)² ) + (y² - 25/6 y + (-25/ 12)² ) = 17/3 + (- 8/3)² + (-25/ 12)²

(x² - 16/3 x + 64/9) + (y² - 25/6 y + 625/144) = 17/ 3 +  64/9 + 625/144

Ahora factorizamos el binomio, ya que es un binomio cuadrado perfecto, basta con sacarla raíz cuadrada al primero y al último término y ponerle elevado al cuadrado, y resolvemos la suma del término independiente.

(x - 8/3)² + (y - 25/12)² = 2465/ 144   --> ésta es nuestra ecuación de la forma ordinaria

Es a lo máximo, que yo, pude simplificar al término independiente, lo reitero no tengo calculadora cientifica pero ustedes comprueben que este bien.

Las coordenadas del centro son:

 

 C (8/3, 25/12)

No son negativos pues en la formula dice

(x - h)² + (y - k)²= r²

El valor de nuestro radio...

Si r² = 2465/ 144

r=  √ 2465/ 144    --> todo va dentro de la raíz

r= √ 2465/ √144

En una fracción, el radical o la raíz se puede dividir en una para el numerador y otra para el denominador, sólo para aclarar y para quienes se preguntaron porque demonios hice eso, ahora hasta donde me dan mis calculos mentales, pude sacar esto:

r= √ 2465/ 12   --> este es el valor del radio

No sé si el numerador tenga raíz cuadrada, ustedes saquenla ya que como vengo repitiendo NO TENGO CALCULADORA CIENTIFICA, de hecho necesita pilas, pero bueno espero haya quedado bien explicado, sólo para resumir.

Ecuación de la circunferencia de la forma general:   x² + y² -16/3 x - 25/6 y = 17/3

Ecuación de la circunferencia de la forma ordinaria: (x - 8/3)² + (y - 25/12)² = 2465/ 144

Coordenadas del centro:  C (8/3, 25/12)

Valor del radio: r= √ 2465/ 12

Que les vaya bien, yo ando moreteado por ir a jugar gotcha, ciao ciao y gracias por visitar mi blog, si tienen alguna duda, algo que no haya quedado bien claro diganme para ver que puedo hacer, o quieren trate de un tema avisenme.

No me gusta facilitar respuestas, yo soy de los que piensa que todos somos capaces de poder hacer algo si se nos enseña para que entendamos y no solamente para que sepamos.

La resignación es, de todas, la peor forma de rendirse.

©Alexander Zante