Ayuda en Matematicas: Circunferencia (Parte I)

Por Az.

No sé cuantos artículos sean necesarios para cada tema pero intentaré incluir en cada explicación un problema para que se haga entendible, ¿vale?, comenzaré.

En lo que respecta a este tema hay diferentes problemas para cuando queremos hallar la ecuación de la circunferencia de un circulo, valga la estúpida redundancia, ya que hay varios casos:

Cuando tenemos una recta tg (tangente) y el centro del circulo.

Cuando tenemos un punto que se encuentra en la circunferencia y el centro del circulo esta sobre una recta.

Cuando tenemos dos puntos que forman el diametro (este caso es sencillo), y demás.

Hoy trataré:

• Ecuación de la circunferencia que pasa por 3 puntos

Esto tuve que aprenderlo, ya que debía enseñarlo a unas chicas de las cuales era maestro particular, no me lo enseño mi maestro pero lo aprendí de un libro después de repasarlo y hacer unos ejercicios.

Resolviendo un problema que vi en YahooRespuestas:

Determinar la circunferencia que pasa por los puntos

A (2, -2)

B (-1, 4)

C (4, 6)

Citando, a mi manera, la explicación del libro:

La circunferencia tiene una Ecuación de la Forma General:

x² + y² + Dx + Ey + F= 0

Donde:

x, y  --> representan a un punto que se encuentra en la circunferencia

D, E, ---> son los coeficientes que acompañan en la ecuacion al punto

F ---> representa al término independiente.

Todo punto que se encuentre sobre la circunferencia debe satisfacer la ecuacion de la circunferencia.

Como sabemos que "x" y "y" son los valores de un punto que está sobre la circunferencia, y tenemos tres puntos A, B y C, sustituiremos esos valores en la Ecuación de la Forma General, obtendremos tres ecuaciones:

A (2, -2)  -->  (2)² + (-2)² + D(2) + E(-2) + F = 0

4 + 4 + 2D - 2E + F = 0

8 + 2D - 2E + F = 0    ---> Ecuación 1

-------------------------------------------------------

B (-1, 4)  -->  (-1)² + (4)² + D(-1) + E(4)  + F = 0

1 + 16 -D + 4E + F = 0

17 - D + 4E + F = 0    ---> Ecuación 2

-------------------------------------------------------

C (4, 6)   -->  (4)² + (6)² + D(4) + E(6) + F = 0

16 + 36 + 4D + 6E + F = 0

52 + 4D + 6E + F = 0    ---> Ecuación 3

"F" es el único que quedara con valor de "1" por el momento.

Ahora resolvemos por cualquier método este sistema de ecuaciones.

8 + 2D - 2E + F = 0     Ecuacion 1

17 - D + 4E + F = 0     Ecuacion 2

52 + 4D + 6E + F = 0     Ecuacion 3

Ayer intente resolverlo aqui, pero sólo podía comprobar dos ecuaciones de las tres, en estos casos como en cualquier sistema de ecuaciones es importante la comprobación pues nos pueden salir infinidad de resultados unos aptos para una o dos ecuaciones, como lo que me paso a mí, pero no para todas, veamos.

Vamos a eliminar primero de nuestro sistema de ecuaciones a "E"

Resolviendo 1 y 3 por el método de suma y resta.

(ver el artículo de ecuaciones para quien no sabe como hacerlo)

2D - 2E + F= - 8

4D + 6E + F= -52

(2D - 2E + F= - 8) (3)   --> 6D - 6E + 3F=-24  --> multiplicamos por 3 para que se elimine con el "+6E"

6D - 6E + 3F= -24

4D + 6E + F=  -52

--------------------

10D + 0 + 4F = -76         ---->         10D + 4F= -76   Nueva ecuación 1

Resolviendo 2 y 3 por el método de suma y resta.

- D + 4E + F = -17

4D + 6E + F = -52

Cruzamos los coeficientes para multiplicar y poder eliminar a "E", recordemos que ambos términos deben tener diferente signo para poder eliminar por lo que multiplicaremos a una de las ecuaciones por un valor negativo

(- D + 4E + F = -17)  (-6)  ---> 6D - 24E - 6F = 102

(4D + 6E + F = -52)  (4)  --->  16D + 24E + 4F = -208

6D - 24E - 6F = 102

16D + 24E + 4F = -208

-----------------------------

22D + 0 - 2F = -106        --->     22D - 2F = -106      Nueva ecuación 2

Ahora resolvemos nuestro nuevo sistema de ecuaciones formado por:

10D + 4F= -76                 Nueva ecuación 1

 22D - 2F = -106              Nueva ecuación 2

Vamos a utilizar el método de sustitución en la nueva ecuación 1, despejando el valor de " D"

Entonces tenemos que:

D= - 76 - 4F/ 10    ---> todo dividido entre "10"

Sustituyendo en la nueva ecuacion 2...

22( -7  - 4F/ 10) - 2F = -106

En estos casos lo que hago es dejar sólo al término que sustitui, de la siguiente manera

22( -7 - 4F / 10) = -106 + 2F

Podemos pasar el denominar de "10", desde ahora, al otro lado para que multiplique a los otros términos puesto que "22" como es una multiplicación  de fracciones sólo multiplica a los numeradores, o podemos multiplicar por "22" y despues cuando quitemos los paréntesis pasamos el 10, al gusto de cada quien.

- 1672 - 88 F/ 10 = -106 + 2F

-1672 - 88F = (-106 + 2F) (10)

-1672 - 88F = -1060 + 20F   --> acomodamos los términos

-88F - 20F = -1060 + 1672

-108F = 612             --> despejamos para sacar el valor de F

F = 612/ -108         --->              F = -51/9          --->              F = -17/3

Ahora hallemos el valor de "D", cuando despejamos "D" para sustituir dijimos que es:

D= - 76 - 4F/ 10    --> recuerden que es todo entre "10"

D= - 76 - 4(-17/3) / 10   --> pasamos el valor de -76 a fracción

D= -228/ 3 + 68/3  /10   --> resolvemos la suma de fracciones

D= (-160/ 3) /10

Lo de arriba se lee - 160 tercios entre 10, para que no se confundan, hacemos la operación y nos queda:

D= -160/ 30         --->                  D= -80/15             --->           D= -16/ 3

Ahora hallemos el último valor usando:

4D + 6E + F = -52  

Voy a utilizar ésta ecuación para obtener el valor de "E" ya que fue la que me dio más problemas, era en la única que no me salía la comprobación.

6E= -52 - 4D -F   --> aun no pasaré el 6 para que no nos revolvamos, jeje

6E= - 52 - 4( -16/3) - (-17/3)    -->pasamos el -"52" a fracción

6E= - 156/ 3 + 64/3 + 17/3

6E= -156/3 + 81/3

6E= -75/3    --> aqui si podemos sacar un número entero de la fracción

6E= -25

E= -25/6

----------------------------

Sé que es algo tedioso pero comprobemos las ecuaciones:

D= -16/ 3

E= -25/6

F = -17/3

Ecuacion 1:              2D - 2E + F = -8

2( -16/3) - 2(-25/6) - 17/3 = -8

-32/3 + 25/3 - 17/3 = -8

-49/3 + 25/3 = -8

-24/3 = -8

-8 = -8

Ecuacion 2:            -D + 4E + F = -17

-(-16/3) + 4( -25/6) - 17/3 = -17

16/3 - 50/3 - 17/3 = -17

16/3 - 67/3 = -17

-51/3 = -17

-17 = -17

Ecuacion 3:             4D + 6E + F = -52

4(-16/3) + 6( -25/6) - 17/3 = -52

-64/3 - 25 - 17/3 = -52

-81/3 - 25 = -52

-27 - 25 = -52

-52 = -52

-----------

Hemos comprobado que están bien los valores, ahora saquemos la ecuación general de la circunferencia, la cual obtenemos apartir de la siguiente formúla.

x² + y² + Dx + Ey + F = 0      Ecuacion General de la Circunferencia

Bien, ahora solo sustituiremos los valores de D, E y F en la ecuación.

D= -16/ 3

E= -25/6

F = -17/3

 

x² + y² + (-16/3)x + (-25/6)y +(-17/3) = 0

x² + y² -16/3 x - 25/6 y = 17/3    --> ésta es nuestra ecuación de la forma general

Para pasar esa ecuacion a la forma ordinaria primero acomodamos los términos en relación a "x" y "y", así:

(x² - 16/3 x) + (y² - 25/6 y) = 17/3

Ahora procedemos a acompletar los binomios, los términos que añadamos se los sumaremos al término independiente osea a 17/3, para no desbalancer la ecuación..

Por como se ordena un binomio sabemos que el "-16/3 x" y el "-25/6 y", son el resultado del doble producto del primero por el segundo término, por lo que para hallar el valor del segundo término solo debemos dividirlo entre 2 y quitarle su literal:

Para el caso de "x"

2? = -16/3

?--> corresponde al valor del término independiente, si despejamos nos quedaría así:

?= (-16/3 ) /2

?= -16/ 6 ---> -8/3

Para el caso de "y"

2?= -25/ 6

?= (-25/6) / 2

?= -25/ 12

Los términos que obtuvimos los elevaremos al cuadrado ya que el único término que falta en el binomio es el segundo término elevado al cuadrado, entonces tenemos que:

(x² - 16/3 x + (- 8/3)² ) + (y² - 25/6 y + (-25/ 12)² ) = 17/3 + (- 8/3)² + (-25/ 12)²

(x² - 16/3 x + 64/9) + (y² - 25/6 y + 625/144) = 17/ 3 +  64/9 + 625/144

Ahora factorizamos el binomio, ya que es un binomio cuadrado perfecto, basta con sacarla raíz cuadrada al primero y al último término y ponerle elevado al cuadrado, y resolvemos la suma del término independiente.

(x - 8/3)² + (y - 25/12)² = 2465/ 144   --> ésta es nuestra ecuación de la forma ordinaria

Es a lo máximo, que yo, pude simplificar al término independiente, lo reitero no tengo calculadora cientifica pero ustedes comprueben que este bien.

Las coordenadas del centro son:

 

 C (8/3, 25/12)

No son negativos pues en la formula dice

(x - h)² + (y - k)²= r²

El valor de nuestro radio...

Si r² = 2465/ 144

r=  √ 2465/ 144    --> todo va dentro de la raíz

r= √ 2465/ √144

En una fracción, el radical o la raíz se puede dividir en una para el numerador y otra para el denominador, sólo para aclarar y para quienes se preguntaron porque demonios hice eso, ahora hasta donde me dan mis calculos mentales, pude sacar esto:

r= √ 2465/ 12   --> este es el valor del radio

No sé si el numerador tenga raíz cuadrada, ustedes saquenla ya que como vengo repitiendo NO TENGO CALCULADORA CIENTIFICA, de hecho necesita pilas, pero bueno espero haya quedado bien explicado, sólo para resumir.

Ecuación de la circunferencia de la forma general:   x² + y² -16/3 x - 25/6 y = 17/3

Ecuación de la circunferencia de la forma ordinaria: (x - 8/3)² + (y - 25/12)² = 2465/ 144

Coordenadas del centro:  C (8/3, 25/12)

Valor del radio: r= √ 2465/ 12

Que les vaya bien, yo ando moreteado por ir a jugar gotcha, ciao ciao y gracias por visitar mi blog, si tienen alguna duda, algo que no haya quedado bien claro diganme para ver que puedo hacer, o quieren trate de un tema avisenme.

No me gusta facilitar respuestas, yo soy de los que piensa que todos somos capaces de poder hacer algo si se nos enseña para que entendamos y no solamente para que sepamos.

La resignación es, de todas, la peor forma de rendirse.

©Alexander Zante

Ayuda en Matemáticas: Circunferencia: Problemas I

Por Az.

Veamos un caso de circunferencia, es de una pregunta de YahooRespuestas.

Determinar la Ecuación de la circunferencia, si A (-2 , 6) y B (8, -4) son los extremos del diámetro del círculo.

Ahora la ecuación de la circunferencia de la forma ordinaria, es así:

(x - h)² + (y - k)² = r²

Donde:

(x, y) --> son las coordenadas de un punto sobre la circunferencia que debe satisfacer la ecuacion

(h, k) --> son las coordenadas del centro del circulo

r --> es el valor del radio

La Ecuación de la Forma General de la circunferencia es:

x² + y² + Dx + Ey + F= 0

Donde:

(x, y) --> son las coordenadas de un punto sobre la circunferencia

D, E --> son coeficientes que acompañan a "x" y a "y"

F --> es el término independiente

Ahora sabiendo esto iniciemos a resolver porque debo ir a ver la tele, jeje.

Retomando el problema.

El diámetro de un circulo es una recta que pasa de lado a lado, es decir de extremo a extremo, del mismo, cortandolo en partes iguales, la mitad del diámetro obviamente es el radio.

En la mitad del diámetro podremos encontrar el centro, ¿verdad?

Si el segmento comprendido entre A y B es el diámetro, el punto medio entre ellos es el centro y podemos obtener las coordenadas de la siguiente forma.

 Pm(x) =x1 + x2/ 2

Pm(y)= y1 + y2/ 2

Se lee, la suma de "x1" más "x2" dividido, todo, entre dos. El mismo caso para el punto medio (Pm) de "y"

Las coordenadas del punto medio serán

P (Pm(x), Pm(y))

Es decir el resultado de cada división.

Sean (x1, y1) las coordenadas de A, y (x2, y2) las de B, tenemos que

A (-2 , 6)

B (8, -4)

Pm(x) = -2 + 8/ 2

Pm(x) =6/ 2

Pm(x) =3

Pm(y)= 6 - 4/ 2

Pm(y)= 2/2

Pm(y)= 1

No importaba cual pusiéramos primero, el resultado no cambiaría pero era para instaurar un orden, jeje. Entonces las coordenadas del Pm, es decir el centro son:

C (3, 1)

Antes de sustituir esos valores en la ecuación ordinaria, normal o como le digan necesitamos hallar el valor del radio, el cual obtendremos por la formula de distancia entre dos puntos (Ver Nociones de Geometria Analitica, en caso de que no sepan cual es.)

La formula es así:

d= √ (x1 -  x2)² + (y1 - y2)²

Aqui usaremos forzomente las coordenadas del centro y a elección de cada uno el otro punto, sea A o B, no importa pues la distancia será la misma.

Usaré a:

 Las coordenas del centro como (x1, y1)

 Las coordenadas de B como (x2, y2)

C ( 3, 1)      B (8, -4)

Sustituimos valores:

d= √( 3 - 8)² + ( 1 - (-4))²

d= √(-5)² + (5)²

d= √ 25 + 25

d= √ 50    --> descomponemos

d= √ ((5)²(2) 

d= 5√2

r= 5√2

Ahora ya podemos sacar la ecuación de la circunferencia, primero de la forma ordinaria, solo sustituimos los valores del centro en

h --> representa la coordenada "x" del centro

k ---> representa la coordenada "y" del centro

Solo para aclarar, jeje.

Entonces:

(x - h)² + (y - k)² = r²

(x- 3)² + (y - 1)² = (5√2)²

(x- 3)² + (y - 1)² =50  --> comprueben en su calculadora esto, ya que la mía no funciona, jeje

Eso es todo en lo que respecta  a la forma ordinaria, para pasar de ésta a la general lo único que debemos hacer es desarrollar los binomios e igualar a cero la ecuación, veamos:

(x- 3)² + (y - 1)² =50

(x² +2(-3)(x) + 9) + (y² + 2(-1)(y) + 1)= 50  -->resolvemos y quitamos parentesis

x² - 6x + 9 + y² -2y + 1 = 50  --> acomodamos, igualamos a cero

x² + y² - 6x - 2y + 9  + 1 - 50 = 0 --> reducimos términos semejantes

x² + y² - 6x - 2y - 40 = 0    --> Asi queda la ecuacion de la forma general.

*A los que vieron esto hace 10 minutos si es que alguien lo hizo, hice una corrección*

Bueno espero les haya servido, practiquen, las matemáticas más que nada es cuestión de aprenderse las formúlas de ahi en fuera todo con práctica se hace sencillo, como le decía a quienes enseñaba, por cierto soy estudiante de 20 años, no estoy tan viejo, jeje, me largo a ver mi programa que ya va a la mitad, demonios, cuidense y cualquier duda o petición para que les ayude en algo si está dentro de mis haberes con gusto, ciao ciao.

Ayudar es instruir, no inutilizar.

©Alexander Zante

Ayuda en Matemáticas IV: Ecuaciones

Por Az.

Vale pues esto es lo más sencillo del mundo para resolver, queria irme primero con lo más difícil pero bueno.

Hay cuatro métodos para resolver un sistema de ecuaciones:

*Suma y resta
*Sustitución
*Igualación
*Determinantes (este último no me lo enseñaron, lo investigaré bien y si logro comprenderlo lo anexaré)


Primero que nada debemos aprender a despejar. Esto es quitar todos los términos que están a compañando a nuestra incógnita.

Para ello debemos saber que cuando los términos pasan al otro lado de igual, pasarán con la operación contraria:

Suma >Resta
Multiplicacion > División
Exponente o potencia > Radical o raíz

Veamos ejemplos:

a)    8x + 40= 0


Pasamos al otro lado de igual al término independiente, este es aquel que no posee una parte literal, que no esta acompañado pues, jeje, en nuestro buen castellano sería el 40, vemos que es positivo, pero como puse anteriormente debe pasar con la operación contraria, entonces:

8x= -40

Podemos ver que  "x" aún no esta sola, tiene al coeficiente "8". En este caso la función de el coeficiente es la de multiplicar, por lo que debe pasar dividiendo con su propio signo, si es positivo, pasa dividiendo como positivo, si es negativo pasa dividiendo como negativo, ¿vale?

x= 40 / 8   --->    x= 5


b)   9x² - 16= 0

Pasamos el término independiente.

9x² = 16

Pasamos el coeficiente que acompaña a "x"

x²= 16 / 9

Podemos ver que "x" está elevado a una potencia, por lo que debemos quitarlo para poder hallar su valor, la operación contraria a la potenciación es el radical o la raíz, como les agrade más, jeje.


x= √16/9

Recordemos las propiedades de los radicales, el radical en una fracción se puede dividir para el numerador y para el denominador por lo que:

x= √16/ √9

Ambos términos tienen raíz cuadrada perfecta, entonces:

x= 4/3

Fuera el caso de que "x" estuviera elevado al cubo, pondríamos raíz cúbica; si estuviera elevado a la cuarta, pondríamos raíz cuarta y así, no es muy complejo.

Ya sabiendo como despejar y que operación es contraria a cual, vamos  ahora a ver como resolver los sistemas de ecuaciones, los pondré conforme los enlisté.

• Método de suma y resta.

Aqui lo que se hace es eliminar una incógnita casi mágicamente, (lo digo porque tiene su chiste, sino pues las matemáticas serían sencillas) de nuestro sistema de ecuaciones, el cual puede estar formado por dos ecuaciones, en los mejores casos, pero eso claro que no le resta su dificultad; tres ecuaciones, cuatro, cinco y demás.

Algo que me decía mi maestro,  es que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas; mientras vayamos resolviendo nuestro sistema de ecuaciones las incógnitas se reducen hasta quedar sólo una.


Mientras hago el desarrollo, explicaré los pasos. Podría decirse que hay dos casos.

• Caso 1: cuando queremos eliminar incógnitas que tienen el mismo coeficiente

Tenemos un sistema de ecuaciones formada por dos ecuaciones, es decir, dos incógnitas.

a)  x + 3y = 8


b)  x - 9y = -4

Debemos escoger la incógnita que queremos eliminar, la que nos quedé es la que despejaremos.
Como pueden ver "x" en las dos ecuaciones tiene de coeficiente "1", está será la que eliminaré.

Vamos a multiplicar a toda la ecuacion, sea la a) o la b), por un signo negativo o un -1, para que los términos se reduzcan, esto hará desaparecer a "x". El único efecto del "-1" será el cambio de signo, en los elementos de nuestra ecuación seleccionada.

x + 3y= 8


(x - 9y= - 4) -1 

No importa si lo ponen delante o detrás pues está multiplicando.

Obedeciendo a la ley de los signos,( solo para aclarar signos iguales dan positivo, signos diferentes dan negativo), tenemos que:


 x + 3y = 8


-x + 9y = 4

Por cierto debemos colocar cada elemento debajo del igual, como pueden ver, "x" debajo de "x", "y" debajo de "y", y los terminos independientes, ahora imaginemos una linea de suma y resta, como las que poniamos en primaria y reduzcamos terminos semejantes, o en otras palabras sumemos o restemos segun los signos...

 x + 3y = 8


-x + 9y = 4
--------------
0 + 12y = 12


El cero no lo pongan, solo lo represento para que vean que se elimina, ahora tenemos:

12y =12    ---> despejamos

y= 12/12


y=1

Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones para hallar el valor de "x":

x + 3y= 8
x= 8 -3y
x=8 - 3(1)
x=8-3
x=5

Tambien se puede sustituir antes de pasarlo al otro lado de igual, como digo, es al gusto de cada quien, jeje.
Hagan la comprobación ustedes, la haría pero se alarga mucho este artículo.

• Caso 2: cuando queremos eliminar incógnitas que tienen coeficientes distintos

Sean dos ecuaciones

a) 4z + 5y = -23

b) 3z - 2y = 23

Sea cual sea la incógnita que elijamos tiene coeficiente distinto.El desarrollo es el mismo, lo que cambia es al momento de querer eliminar una incógnita con la multiplicación.

Aqui digamos hay una subdivisión, es sencillo.

Si los coeficientes fueran pares, por ejemplo que en lugar de "3z", hubiera un "2z" solo multiplicamos por un "-2" a toda esa ecuación, el resultado sería un "-4z" que podríamos eliminar con el "+4z" y de ahi seguimos normal.

En este caso vamos a eliminar a "y", ya son de signo distinto, así que lo único que debemos hacer es "cruzar" coeficientes, veamos:

(2) (4z + 5y = -23)  ---> 8z + 10y = -46

(5) (3z - 2y = 23)    --->15z - 10y= 115
Ahora si ya podemos eliminar y seguir el procedimiento normal.

8z + 10y = -46

15z - 10y= 115
----------------
23z + 0 = 69

Técnicamente estoy mal por poner cero positivo, pero solo lo estoy representando para que vean que se elimina.

23z= 69


z= 69 / 23


z= 3

Sustituyendo:

3z - 2y = 23

-2y= 23 - 3z
-2y= 23 - 3(3)
-2y= 23 - 9
-2y= 14
y= 14 / -2 

Recuerden que dije que el coeficiente que acompañe a la incógnita en el despeje si esta multiplicando pasa dividiendo con su propio signo.

y= -7

Igualmente hagan la comprobación.

• Método de sustitución

Como su nombre lo indica consiste en sustituir, lo explicaré mientras desarrollo.

Sea un sistema de ecuaciones formado por:

a)   3x + 2y = 2


b)   x  + 3y = 3


Para sustituir, lo primero que debemos hacer es despejar una incógnita.

Despejando "x" de la primera ecuación

3x= 2 - 2y


x= 2- 2y/ 3  --> todo dividido entre tres


Lo siguiente que haremos es sustituir o reemplazar este valor en la ecuación que no ocupamos:

 x  + 3y = 3

(2 - 2y/ 3) + 3y = 3  ----> los parentesis son para que vean con más detalle

2 - 2y/ 3= 3 - 3y  ---> pase el "3y" para hacer lo que dice abajo, jeje.

Para pasar nuestra fracción a entero, pasamos el denominador "3" al otro lado del igual, operación contraria a la división, la multiplicación, entonces:

2 - 2y = 3( 3 - 3y)


2 - 2y = 9 - 9y ---> ahora ponemos de un lado a las "y" y del otro a los términos independientes


-2y + 9y= 9 - 2


7y= 7 --> desde aquí ya podemos deducir que vale 1


y= 7/ 7    --->    y=1

Sustituimos el valor encontrado en alguna de las ecuaciones.

3x + 2y = 2

3x = 2 - 2y

3x= 2 - 2(1)

3x= 0
x= 0/3  --->     x= 0

Hagan la comprobación.

• Método de igualación

Podría decir que es mi favorito, lo sé, suena extraño, jeje. Este método es como una doble sustitución. Veamos.

Sea nuestro sistema.

a)  x + y - z = 5

b)  x - 2y - 2z = 4

c)  3x - 3y + z = 1

Vamos a elegir dos ecuaciones, en las cuales habremos de despejar la misma incógnita.

a)  x + y - z = 5 ---> despejando "x" en a)

x= 5 - y + z

 b)  x - 2y - 2z = 4  ---> despejando "x" en b)


x= 4 + 2y + 2z

Ahora, el porque de que se le llame igualación; vamos a colocar el resultado de los despejes uno a lado del otro, pero entre ellos pondremos un signo de igual, así:


 5 - y + z = 4 + 2y + 2z   --> igualación de a) con b)

Pude poner primero al resultado de b), pero dará lo mismo, cuestión de gustos. Ahora vamos a simplificar, es decir sumar o restar términos semejantes segun el caso, recuerden que debemos poner de un lado a las incógnitas y del otro a los términos independientes, entonces:

5 - 4 = 2y + 2z + y - z   --> los invertí de lugar para que quedarán positivos de una vez


1= 3y + z 

Tambien podemos ponerlo así:  3y + z = 1 , es como si le dieramos la vuelta, no hay problema pues se mantiene la idea, no es como si los hubieramos pasado uno por uno, pues hubieran cambiado de signo.

3y + z = 1  ---> es el resultado de nuestra primer igualación


Recuerden que necesitamos el mismo número de ecuaciones que el de incógnitas, por lo que necesitamos hacer otra igualación.

Es obvio que debemos usar la ecuacion c), la elección de la otra ecuacion es a gusto propio.
Debemos despejar aqui tambien la misma incógnita, para que tengamos los mismos términos que el resultado de la primer igualación.

Ahora despejamos "x" de c)

c)  3x - 3y + z = 1

3x= 1 + 3y - z

x= 1 + 3y - z / 3  ---> todo entre "3"


Igualando:

4 + 2y + 2z = 1 + 3y - z / 3    ---> igualación de b) con c)


Vamos a convertir nuestra fracción a entero pasando el denominador "3" al otro lado de igual, recuerden que como esta dividiendo pasa multiplicando; una vez hayamos terminado de multiplicar reducimos términos semejantes.


3( 4 + 2y + 2z) = 1 + 3y - z


12 + 6y + 6z = 1 + 3y - z


6y + 6z - 3y - z= 1 - 12


6y - 3y + 6z + z= 1 - 12


3y + 7z = -11 ----> resultado de la segunda igualación.

Veamos cuales son nuestras dos ecuaciones resultantes:

3y + z = 1

3y + 7z = -11

De nueva cuenta haremos igualación, vamos a despejar a "y".

y= 1 - z / 3   ---> todo entre 3


y = - 11 - 7z / 3  ---> todo entre 3

Igualamos:

1 - z / 3 = -11 - 7z / 3

Podemos ver que ambas fracciones tienen el mismo denominador por lo que, en este caso podemos cancelarlos, si quieren multipliquen a las dos igualaciones por "3" al final obtendrán el mismo resultado, en serio haganlo, jeje, si los multiplicamos obtendriamos un equivalente a lo que ya tenemos.

Como para resolverlo  yo cancelo los denominadores, me queda lo siguiente:


1 - z = -11 -  7z  --> reducimos términos semejantes


-z + 7z = -11 - 1


6z = -12     ---->            z = -12/ 6               ----->                z = -2


Bien tenemos un valor, ¡por fin!, jeje.

No podemos ir a sustituir este valor en una de las ecuaciones originales, es decir, en las que tiene tres incógnitas, ¿verdad?, entonces este valor lo sustituiremos en una de las que tiene dos incógnitas, ya cuando tengamos dos valores, entonces si sustituimos en una de las de tres incógnitas.


3y + z = 1  --> se ve fácil, jeje


3y = 1 - z
3y = 1 - (-2)  --> regla de los signos
3y = 1 + 2
3y = 3
y = 3/3

y = 1



Estamos a punto de terminar.

x + y - z = 5   -->¿ se nota que ya tengo flojera?


Entonces tenemos valores para:


z = -2
y = 1


Sustiyendo dichos valores:


x + y - z = 5
x = 5 - y + z
x = 5 - 1 +´(-2)
x = 5 - 1 - 2
x= 5 - 3
x= 2

Entonces los valores de nuestras tres incógnitas son:

x = 2         y = 1        z = -2



Hagan ustedes la comprobación de nueva cuenta.

No hago las cosas paso por paso para tratarlos como tontos, lo hago para que tengan el menor número de dudas posibles. Bien puedo saltarme la acomodación de términos, multiplicación, cancelaciones de denominadores, divisiones, etc, pero quiero explicarles lo más detalladamente para que comprendan y entiendan el tema.

Me voy, alguna sugerencia sobre que tema poner o alguna duda, no olviden comentar.

Ciao ciao.

La resignación es, de todas, la peor forma de rendirse.

© Alexander Zante

Ayuda en Matemáticas II: Nociones de Geometría Analitica

Por Az.

Hay muchos temas que poner y no sé por donde empezar, ¡demonios!
Vale, a ver que sale.

Antes de comenzar, traten de recordar mis abreviaciones, asi no tengo que alargar tanto esto, por ejemplo Pm: punto medio, m: pendiente, etc, más adelante lo verán.


Lección II:  Nociones de Geometría Analítica

Pondré principalmente las formulas que se ocupan, de momento puede no haber una explicación detallada sobre su aplicación, en el siguiente artículo haré un ejercicio aplicando y explicando las formulas.

•  Formula de la distancia entre dos puntos:

Para usar esta formula necesitamos conocer las coordenadas de dos puntos; podemos emplearla para hallar la longitud de un lado de una figura geometrica ubicada en el plano cartesiano.

d= √ (x1 -  x2)² + (y1 - y2)²

Donde:

(x1, y1) ---> son los valores del Punto P1
(x2, y2) ---> son los valores del Punto P2

• Formula para hallar el punto medio

Es principalmente útil para hallar las alturas, medianas y mediatrices en un triángulo, para así conseguir el punto de intersección entre ellas que respectivamente son, ortocentro, baricentro y circuncentro.

Pm(x)= x1 + x2/ 2

Pm(y)= y1 + y2/2

(Todo dividido entre dos)

Donde:

(x1, y1) ---> son los valores del Punto P1

(x2, y2) ---> son los valores del Punto P2

Los valores que obtengamos, son las coordenadas del punto medio, teniendo de coordenadas:

Punto medio ( Pm(x), Pm(y) )

• Formula de la pendiente

Hay dos formas para obtenerla:
*Si conocemos el ángulo de inclinación de una recta dada
*Si conocemos el valor de dos puntos

Para el primer caso, la formula es la siguiente:

m= tg θ

Donde:m --> pendiente
tg --> tangente
θ --> valor del ángulo

Para el segundo caso, tenemos que:

m= y1 - y2/ x1 - x2

Donde:
m --> pendiente
(x1, y1) ---> son los valores del Punto P1

(x2, y2) ---> son los valores del Punto P2

Cabe mencionar que, cuando dos rectas son paraleas entre si,  sus pendientes son iguales; y cuando dos rectas son perpendiculares,  sus pendientes son reciprocas y de signo contrario, y el producto de ellas es igual a "-1"

• Ecuación de la recta de la forma punto-pendiente

Para usar ésta formula obviamente necesitamos un punto y el valor de la pendiente de la recta en la que se encuentre dicho punto.


y - y1= m ( x - x1)

Donde:
(x1, y1) --> son los valores del punto que tenemos o seleccionamos, segun el caso.
m --> valor de la pendiente que ya tenemos o que hallamos con dos puntos (ver formula de la "m")
"x" y "y" son términos que pertenecen a nuestra futura ecuación.

En la formula SUSTITUIREMOS VALORES SOLO para el punto y la pendiente.

• Ecuación de la recta de la forma simétrica

Nos sirve para conocer donde es que una recta corta con el eje "y" y el eje "x", ¿y eso a mí que?, pensaran algunos, pero su utilidad es la de ubicar donde es que se localiza una recta para darnos una noción mas precisa.

x / a + y / b = 1

Donde:
a --> es la intersección con el eje x
b --> la intersección con el eje y

Tienen un coordenada en cero "a" y "b" porque solo nos interesa donde cortan con los ejes, entonces tenemos que:

Las coordenadas para el punto de corte en el eje x son: P1 (a, 0)
Las coordenadas para el punto de corte en el eje y son: P2 (0, b)



Simplemente es pasar una ecuacion a esta forma.

1. Ejemplo

Sea la ecuacion

2x + 3y + 6= 0 

Primero pasamos el termino independiente, es decir el que no posee literal, el "6", al otro lado de igual.

2x + 3y= -6

Se vuelve negativo el "6", porque los términos que pasan al otro lado de igual deben cruzar con la operación contraria, la resta es contraria a la suma, solo para aclarar.
Ahora lo que haremos será dividir toda la ecuación entre el término independiente, con todo y signo en el caso de los negativos, ya que la ecuación debe ser igualada a "1", entonces...

2x/-6 + 3y/-6= -6/-6

Simplificamos...

x/-3 + y/-2 =1    [esta es nuestra ecuación]

Y nuestras coordenadas de los puntos de intersección son:

P1 (-3, 0)
P2 (0, -2)

Por cierto que los coeficientes de "x" y "y" tienen que valer 1.

• Lineas, ó rectas, en un tríangulo

No sé si estoy en lo correcto para referirme a lo siguiente, pero bueno.

Entre las lineas o rectas que podemos encontrar en un triángulo están:

*Mediana
Es la linea recta que va de uno de los vértices del triángulo al punto medio del lado opuesto, el punto de intersección de las medianas se llama, Baricentro.

*Mediatriz
 Linea perpendicular al punto medio de un segmento, el punto de intersección de las mediatrices se llama, Circuncentro.

*Altura
Linea que va de uno de los vértices del triangulo al lado opuesto siendo perpendicular, el punto de intersección entre las alturas se llama, Ortocentro.

Resumen de formulas. [Editando]

Ayuda en Matemáticas I: Trigonometría, identidades trigonometricas

Por Az.

Me cambiaré el pseudonimo como bloggero de nuevo, ahora seré "Az", es el definitivo.

Retomando, como dice el titulo, ahora me dedicaré a ayudar a los más desamparados en matemáticas, aclararé que no soy un super profesional de esto, aunque un tiempo fui maestro particular, ahora estoy falto de alumnos, jeje; si tienen alguna duda, y si está al alcance de mis posibilidades el poder instruirles, para mi instruir es ayudarles a ENTENDER y no sólo les facilitaré una respuesta...

No iré en orden si alguien tiene una duda puede dejarmela aqui, contestaré lo más rápido posible, algunos se preguntarán el por que de mi "generosidad" y los que no, pues tambien aqui tengo su respuesta, recientemente saque una cuenta en yahoo, para entrar a yahoo respuestas, porque queria responder a un tipo reto que dejo uno de los usuarios, era un sudoku, pero yo no sabía que había un límite de tiempo para que una pregunta fuera resuelta, jeje, si alguien tiene cuenta en yahoo o me quiere agregar  j.az_13@yahoo.com.mx

Ahora, veamos algo sobre identidades trigonometricas, si quieren teoría sobre esto, vean wikipedia, lo digo de buena gana, yo más que nada me dedico a resolve y explicar a la par.

Lección I: trigonometría, identidades trigonometricas


Hace unos días alguien pidió ayuda para resolver una identidad trigonometrica, era la siguiente:


cos² A - sen² A = 1 - 2 sen² A

Este caso es sencillo de resolver, cuando se conoce las posibles equivalencias que posee cada identidad trigonometrica, lo único que debemos hacer para esto, es cambiar un solo valor...

cos² A = 1 - sen² A

El " 1 -sen² A" es uno de los tantos valores que puede tener cos² A, este valor es preciso para este problema, ahora sustituimos este valor...

(1 - sen² A) - sen² A  = 1 - 2 sen² A 

Lo puse entre paréntesis para que se vean donde se sustituyo, no había problema en no ponerlos, quitamos los parentesis para reducir ya que los terminos se estan restando...

 1 - sen² A - sen² A = 1 - sen² A

1 - 2 sen² A = 1 - 2 sen² A

Con esto comprobamos que es verdad, pero, ¿ como es que  cos² A = 1 - sen² A?
Esto era lo que me faltaba contestar.

*No critiquen, no había usado paint en mucho tiempo y pensé seguiría así, que vueltas da la vida* 

Imaginemos un triángulo equilátero.

Tantos sus lados como sus angulos internos tiene la misma medida.

Ahora una de las propiedas de los triangúlos nos dice que la suma de sus ángulos internos suma 180°, por tanto, podemos deducir lo siguiente:


3a= 180°
a= 180°/3
a= 60°

Donde a, es el valor de uno de los ángulos del triángulo.

Ahora si le trazamos la altura a dicho triángulo equilátero, obtendremos dos triángulos rectángulos...

Obtenemos el valor del ángulo c de la siguiente forma:

a + b + c= 180°


60° + 90° + c= 180°


150° + c= 180°


c= 180° - 150° --> c= 30°

a= 60°
b= 90°
c= 30°

Ahora, según el teorema de pitágoras:

a² + b²= c²


a= Cateto Opuesto
b= Cateto Adyacente
c= Hipotenusa




"a", se relaciona con la función Seno (Sen)
"b", con la función Coseno (Cos)
"c", con la función Tangente (Tg)

Ahora, tenemos que el valor de la hipotenusa es el de la tangente por lo que podemos decir que:

c= a/b ---> Tg= Sen/Cos

Sustituiremos los valores de los ángulos para la función...

Tg= Sen 60°/ Cos 30°
Tg= 0.866/0.866   ó     Tg= √3/2 / √3/2    [la parte de la raíz sólo corresponde al numerador]

Tg= 1          ó          Tg= (2√3) / (2√3) = 1

Ya que tenemos el valor de la Tg, sustituimos en el teorema de pitagoras:

(sen)² + (cos)²= 1

sen² + cos²= 1

Despejando podemos deducir tanto un valor para Sen, como para Cos, quedando de la siguiente manera...

sen² = 1 - cos²
cos² = 1 - sen²

Estos valores son sólo aceptados para sen² y cos², si queremos quedase un valor para Sen y Cos sin exponente solo debemos pasar la potencia al otro lado de igual con la función contraria, la función contraria a elevar a un exponente es la raíz, entonces:

sen=  √1 - cos²
cos= √1 - sen²


Espero esto les ayude un poco a entender, ¿dudas o sugerencias?, comenten, a ver que más se me ocurre poner, ciao ciao.

Ayudar es instruir no inutilizar.

©Alexander Zante